Реферат на тему:

Моделі парної регресії та ix дослідження

Приклади парних зв’язків в економіці

Економічна теорія виявила й дослідила значну кількість сталих і
стабільних зв’язків між різними показниками. Наприклад, добре вивчено
залежності споживання від рівня доходу, попиту — від цін на товари,
залежність між процентною ставкою та інвестиціями, обмінним курсом
валюти та обсягом чистого експорту, між рівнями безробіття та інфляції,
залежність обсягу виробництва від окремих факторів (розміру основних
фондів, їх віку, підготовки персоналу тощо); залежність між
продуктивністю праці та рівнем механізації, а також багато інших
залежностей.

Здебільшого залежність між показниками можна відобразити за допомогою
лінійних співвідношень.

Наприклад, для моделювання залежності індивідуального споживання С від
наявного прибутку Y Кейнс запропонував лінійне рівняння

де с0 — величина автономного споживання; b — гранична схильність до
споживання (0 < b< 1). Однак припущення щодо лінійної залежності між певними показниками економічного явища чи процесу може не підтверджуватися даними спостережень цих показників. І це природно, оскільки в деяких випадках залежність є суттєво нелінійною. Наприклад, залежність між рівнем безробіття х і рівнем інфляції у відображається так званою кривою Філіпса: де a>0,b>0 — параметри моделі, а змінні x і y вимірюються у процентах.

При незмінній річній дисконтній (обліковій) ставці r і початковому
внеску a через x років у банку наявна сума грошей обчислюватиметься за
формулою

де a, y — параметри моделі.

При маркетингових і ринкових дослідженнях, при дослідженні збуту
продукції та в демографії застосовують так звану криву Гом-перця:

де параметри a та c можуть набувати будь-яких значень, а b перебу-ває в
таких межах: 0 < b < 1. Зв’язок між обсягом виробленої продукції y та основними виробничими ресурсами, а саме обсягом витраченого капіталу C і обсягом витрат праці L, також має нелінійний характер: a, b, c,d — числові параметри; c, d > 0, a, b ? 0.

Нелінійні зв’язки, як правило, певними перетвореннями (заміною змінних
чи логарифмуванням) зводять до лінійного вигляду або ап-роксимують
(наближують) лінійними функціями.

Отже, модель лінійної регресії (лінійне рівняння) є найпошире-нішим (і
найпростішим) видом залежності між економічними змінни-ми. Крім того,
побудоване лінійне рівняння може слугувати почат-ковою точкою в разі
складних (суттєво нелінійних) залежностей.

Лінійна модель з двома змінними

У загальному випадку парна лінійна регресія є лінійною функцією між
залежною змінною Y і однією пояснюючою змінною X:

Співвідношення (2.1) називається теоретичною лінійною регре-сійною
моделлю; a0 і a1 — теоретичні параметри (теоретичні коефі-цієнти)
регресії.

Зазначимо, що принциповою в цьому разі є лінійність за парамет-рами a0 і
a1 рівняння (2.1).

Щоб визначити значення теоретичних коефіцієнтів регресії, необ-хідно
знати й використовувати всі значення змінних X і Y генераль-ної
сукупності, що практично неможливо. Тому за вибіркою обмеже-ного обсягу
будують так зване емпіричне рівняння регресії, у якому коефіцієнтами є
оцінки теоретичних коефіцієнтів регресії:

a0 і a1 — оцінки невідомих параметрів a0 і a1.

Через розбіжність статистичної бази для генеральної сукупності та
вибірки оцінки a0 і a1 практично завжди відрізняються від дійсних
значень коефіцієнтів a0 і a1, що призводить до розбіжності емпіричної та
теоретичної ліній регресії. Різні вибірки з однієї й тієї самої
генеральної сукупності звичайно зумовлюють різні оцінки.

Можливе співвідношення між теоретичним і емпіричним рівнян-нями регресії
схематично зображено на рис. 2.1.

Задачі лінійного регресійного аналізу полягають у тому щоб за на-явними
статистичними даними (х(, у(), і = 1, 2,…, п, для змінних X і У:

а) отримати найкращі оцінки a0, a1 невідомих параметрів a0 і a1:

б) перевірити статистичні гіпотези про параметри моделі;

в) перевірити, чи досить добре модель узгоджується зі статистичними
даними (адекватність моделі даним спостережень).

Для відображення того факту що кожне індивідуальне значення Уі
відхиляється від відповідного умовного математичного сподіван-

ня, у модель уводять випадковий доданок и:

Отже, індивідуальні значення Уі подають у вигляді суми двох

компонент — систематичної (a0+a1х{) і випадкової (щ). Причина появи
останньої досить докладно розглядалася раніше. Таким чином, регресійне
рівняння набуває вигляду

Завдання полягає в тому щоб за конкретною вибіркою (*,., Уі), і = 1,
2,…, и, знайти такі значення оцінок невідомих параметрів a0 і a1, щоб
побудована лінія регресії була найкращою в певному розумінні серед усіх
інших прямих. Іншими словами, побудована пряма має бути “найближчою” до
точок спостережень за їх сукупністю.

Мірою якості знайдених оцінок можуть бути визначені композиції відхилень
щ, і = 1, 2,…, п. Наприклад, коефіцієнти a0 і a1 рівняння регресії
можуть бути оцінені за умови мінімізації однієї з таких сум:

Однак перша сума не може бути мірою якості знайдених оцінок через те, що
існує безліч прямих (зокрема, Y = у ), для яких ?Щ = 0.

Метод визначення оцінок коефіцієнтів за умови мінімізації дру-гої суми
називається методом найменших модулів (МНМ).

Найпоширенішим і теоретично обґрунтованим є метод визначення
коефіцієнтів, при якому мінімізується третя сума. Він дістав на-зву
методу найменших квадратів (МНК).

Останній метод оцінювання параметрів найпростіший з обчислювальної точки
зору. Крім того, оцінки коефіцієнтів регресії, знайдені за МНК при
визначених передумовах, мають ряд оптимальних властивостей
(незміщеність, ефективність, обгрунтованість).

Серед інших методів визначення оцінок коефіцієнтів регресії ви-окремимо
метод моментів (MM) і метод максимальної правдоподібності (ММП).

Метод найменших квадратів

Нехай за вибіркою (х{, у{), і = 1,2,…, и, потрібно визначити оцін-ки
а0 і а1 емпіричного рівняння регресії (2.2), тобто підібрати такі
значення коефіцієнтів рівняння, щоб сума квадратів відхилень була
мінімальною (рис. 2.2).

У цьому разі Ьї є квадратною функцією двох параметрів а0 і=1

оскільки х(, у((і = 1, 2,…, и) — відомі дані спостережень:

Неважко помітити, що квадратична функція Q неперервна, опук-ла та
обмежена знизу (Q > 0), тобто має мінімум.

Необхідною умовою існування мінімуму неперервно диференці-йованої
функції двох змінних є рівність нулю її частинних похідних:

Поділивши обидва рівняння системи (2.8) на п, отримаємо

У наступних формулах для спрощення знаки сум ( = ) записуватимемо без
індексів, допускаючи, що додавання виконується від і=1 до і = п. Також
для змінних з індексом і розумітимемо, що

і = 1, 2,…, и (якщо не зазначено інше).

Отже, згідно з МНК оцінки параметрів а0 та а1 визначаються за формулами
(2.9).

Неважко помітити, що a1 можна обчислити за формулою

де Sxy = cov(x,y) = — ? (xi -x)(yi -y) — вибірковий кореляційний момент
випадкових величин XiY;S2x=-? (xi — x)2 вибіркова дисперсія X; Sx = yJS2
— стандартне відхилення X. Тоді

де rxy — вибірковий коефіцієнт кореляції; S — стандартне відхилення Y.
Отже, коефіцієнт регресії пропорційний коефіцієнту кореляції, а
коефіцієнти пропорційності використовують для зіставлення різних величин
Хі Y.

Таким чином, якщо коефіцієнт кореляції rxy уже розрахований, то за
формулою (2.11) неважко знайти коефіцієнт a1 парної регресії.

Якщо окрім рівняння регресії Y на X (Y = a0 + a1X) для тих самих
емпіричних даних знайдено рівняння регресії X на Y

(X = b0 + b1Y), то добуток коефіцієнтів a1 та b1 дорівнює rx2y:

Зазначимо, що коефіцієнти b0 і b1 обчислюються за формулами,
аналогічними формулам (2.9):

Властивості оцінок параметрів

Отримані результати, зокрема формули (2.9) і (2.12), дають змогу зробити
ряд висновків.

1. Оцінки МНК є функціями від вибірки.

2. Оцінки МНК є точковими оцінками теоретичних коефіцієнтів регресії.

3. Відповідно до другої формули співвідношення (2.9) емпірична пряма
регресії обов’язково проходить через точку ( х, у ).

4. Емпіричне рівняння регресії побудоване в такий спосіб, що сума
відхилень ‘Ущ, а також середнє значення відхилення дорівнюють нулю
(показати самостійно).

5. Випадкові відхилення иі некорельовані зі спостереженими значеннями уі
залежної змінної Y.

Для підтвердження цього висновку необхідно показати, що кова-ріація між
Y і и дорівнює нулю, тобто Syu = 0.

6. Випадкові відхилення иі некорельовані зі спостереженими значеннями х{
незалежної змінної X і з оціненими за лінійною регре-сійною моделлю
значеннями залежної змінної Y.

Щоб підтвердити даний висновок, необхідно показати, що коварі-ація між X
і и дорівнює нулю, тобто Sm = 0, S~ = 0.

(Доведення пп. 5 і 6 виконати самостійно.)

Зауважимо, що в класичній лінійній економетричній моделі змінна и
розглядається як випадкова змінна з нульовим математичним сподіванням і
сталою дисперсією. Оскільки и охоплює вплив багатьох неврахованих
факторів, які можна вважати незалежними, то на підставі центральної
граничної теореми теорії ймовірностей роблять висновок, що ця випадкова
величина підпорядкована нормальному закону розподілу (закону Гаусса).

Доведено (теорема Гаусса), що застосування методу найменших квадратів
можливе лише тоді, коли залишки розподілені нормально з параметрами M(U)
= 0.

Для ілюстрації МНК розглянемо такий приклад.

Приклад. Для аналізу залежності обсягу споживання У (у. о.)
до-могосподарства від наявного прибутку X (у. о.) обрано вибірку обся-гу
«=12 (щомісячно впродовж року), результати якої наведені в табл. 2.1.
Необхідно визначити вид залежності; за МНК оцінити па-раметри рівняння
регресії У і X; оцінити силу лінійної залежності між X і У; а також
спрогнозувати споживання при прибутку X = 160.

За розміщенням точок на кореляційному полі припускаємо, що залежність
міжXі У лінійна: У = а0 + а1X; а0,а1 — оцінки невідомих параметрів
моделі.

Для наочності розрахунків за МНК складемо табл. 2.2.

Згідно з МНК маємо

Отже, рівняння парної лінійної регресії має вигляд Y = 3,699 + 0,9339X.
Зобразимо цю пряму регресії на кореляційному полі. За наведеним
рівнянням розрахуємо у{, а також щ = уі — щ.

Для аналізу сили лінійної залежності обчислимо коефіцієнт ко-реляції:

Отримане значення коефіцієнта кореляції дає змогу зробити вис-новок про
сильну (пряму) лінійну залежність між змінними X і У. Це також
підтверджується розміщенням точок на кореляційному полі.

Прогнозоване споживання при доступному доході Х= 160 за да-ною моделлю
становить F(160) ? 153,12.

Побудоване рівняння регресії в будь-якому разі потребує певної
інтерпретації та аналізу.

Інтерпретація, тобто словесний опис отриманих результатів, необхідна для
того, щоб побудована залежність набула якісного економічного змісту.

У нашому прикладі коефіцієнт щ може розглядатися як гранична схильність
до споживання. Фактично він показує, на яку величину зміниться обсяг
споживання, якщо доступний дохід збільшиться на одиницю. На графіку
(рис. 2.3) коефіцієнт at визначає тангенс кута нахилу прямої регресії
відносно додатного напрямку осі абсцис (пояснюючої змінної). Тому часто
він називається кутовим коефіцієнтом.

Вільний член а0 рівняння регресії визначає прогнозоване значення Y при
величині наявного прибутку X, що дорівнює нулю (тобто автономне
споживання). Однак тут необхідна певна обережність. Важливо, наскільки
віддалені дані спостережень за пояснюючою змінною від осі ординат
(залежної змінної), тому що навіть при вдалому виборі рівняння регресії
для досліджуваного інтервалу немає гарантії, що вона залишиться такою
самою й віддалік від вибірки. У нашому випадку значення а0 =3,699 (у.
о.). Цей факт можна пояснити для окремого домогосподарства (воно може
витрачати накопичені або позичені кошти), однак для комплексу
домогосподарств він втрачає сенс. У будь-якому разі значення коефіцієнта
а0 визначає точку перетину прямої з віссю ординат і характеризує зсув
лінії регресії вздовж осі Y.

Необхідно пам’ятати, що емпіричні коефіцієнти регресії а0 і щ є лише
оцінками теоретичних коефіцієнтів а0 та alt а саме рівняння відображає
лише загальну тенденцію в поведінці розглянутих змінних. Індивідуальні
значення змінних з різних причин можуть відхилятися від модельних
значень. У нашому прикладі ці відхилення виражені через значення и{, які
є оцінками відповідних відхилень для генеральної сукупності.

Однак за певних умов рівняння регресії є незамінним і дуже якісним
інструментом аналізу та прогнозування. Ці теми обговорюватимуться в
наступних розділах.

3. Назвіть основні причини наявності в регресійній моделі випад-кового
відхилення.

4. Назвіть основні етапи регресійного аналізу.

5. У чому полягає відмінність між теоретичним та емпіричним рівняннями
регресії?

6. Дайте визначення теоретичної регресійної моделі.

7. У чому суть методу найменших квадратів?

8. Наведіть формули розрахунку коефіцієнтів емпіричного пар-ного
лінійного рівняння регресії за МНК.

9. Як пов’язані емпіричні коефіцієнти лінійної регресії з вибір-ковим
коефіцієнтом кореляції між змінними рівняння регресії?

10. Які висновки можна зробити про оцінки коефіцієнтів регресії та
випадкового відхилення, отриманих за МНК?

11. Проінтерпретуйте коефіцієнти емпіричного парного лінійного рівняння
регресії.

Вправи та завдання

1. Чи існує, на вашу думку, залежність між такими показниками:

а) ВВП і обсягом чистого експорту;

б) обсягом інвестувань і відсотковою ставкою;

в) видатками на оборону та видатками на освіту;

г) оцінками в школі та оцінками в університеті;

д) обсягом імпорту та прибутком на душу населення; є) ціною на каву та
ціною на чай?

У разі ствердної відповіді оцініть напрямок залежності (пряма чи
обернена), а також зазначте, яка із змінних буде пояснюючою, а
яка-залежною.

2. У наступній вибірці подано дані щодо ціни Р деякого блага й кількості
Цього блага, яке домогосподарство купує щомісяця впродовж року.

Місяць 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Р

Q 10

110 20

75 15

100 25 80 30 60 35

55 40 40 35 80 25 60 40 30 45 40 40 30

а. Побудуйте кореляційне поле і за його виглядом визначте формулу
залежності між P і Q.

б. Оцініть за МНК параметри рівняння лінійної регресії.

в. Оцініть вибірковий коефіцієнт кореляції rpq.

г. Проінтерпретуйте результати.

3. Дано таблицю тижневого прибутку (X) і тижневого споживання (Y) для 60
домашніх господарств:

XY

100 60 65 75 85 90

120 70 70 80 85 90 100

140 90 95 95 100 100 120

160 100 110 115 120 125 125 130

180 110 120 120 130 135 140 150 150

200 120 125 130 135 140 150 160 165

220 120 140 145 145 155 165 180

240 150 160 170 190 200

260 140 160 180 210 220

280 180 210 230

а. Для кожного рівня прибутку розрахуйте середнє значення споживання,
що є оцінкою умовного математичного сподівання

M(Y\X = xi ).

б. Побудуйте кореляційне поле для даної вибірки.

в. Складіть емпіричне лінійне рівняння регресії, використову-ючи всі
дані.

г. Складіть емпіричне лінійне рівняння регресії, використовую-чи тільки
середні значення споживання для кожного рівня прибутку.

д. Порівняйте складені рівняння. Яке з них, на ваш погляд, ближче до
теоретичного?

є. Розрахуйте вибірковий коефіцієнт кореляції для в) і г). Чи буде
лінійний зв’язок між даними змінними суттєвим? Відповідь обгрунтуйте.

4. За 10 парами спостережень отримано такі результати:

? xi=100; ? yi=200; ?xiyi=21000;

? xi2 =12000; ? yi2 = 45000.

За МНК оцініть коефіцієнти рівнянь регресії Y на X і X на Y. Оцініть
коефіцієнт кореляції rxy.

5. Дано таку емпіричну регресійну модель, побудовану за МНК:

yt=b0 + b1xt + et, t = 1,2,…,T. Список використаної літератури

Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика и основы
эконометрики: Учебник для вузов. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 1022 с.

Бородин С. А. Эконометрика: Учеб. пособие. — Минск: Новое знание,2001. —
408 с.

Грубер Й. Економетрія: Вступ до множинної регресії та економетрії: У 2
т. — К: Нічлава, 1998-1999.

Джонстон Дж. Эконометрические методы. — М.: Статистика, 1980. — 444 с.

Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. — М.: ИНФРА-М, 1997. —
402 с.

Дрейпер П., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Финансы и
статистика, 1986. — Т. 1 — 365 с; Т. 2 — 379 с.

Емельянов А. С. Эконометрия и прогнозирование. — М.: Экономика, 1985. —
С. 82-89.

Єлейко В. Основи економетрії. — Львів: «Марка Лтд», 1995. — 191с.

Замков О. О., Толстопятенко А. В., Черемных Ю. Н. Математические методы
в экономике: Учебник / Под общ. ред. А. В. Сидоровича. — 3-е изд.,
перераб. — М.: Дело и Сервис, 2001. — 368 с. — (Сер. «Учебники МГУ им.
М. В. Ломоносова»).

Корольов О. А. Економетрія: Навч. посіб. — К: Європейський ун-т,

2002. — 660 с.

Ланге О. Введение в эконометрию. — М.: Прогресс, 1964. — 360 с.

Лук’яненко I. Г., Краснікова Л. І. Економетрика: Підручник. — К.: Т-во
«Знання», КОО, 1998. — 494 с

Похожие записи