Реферат на тему:

Методи оцінювання параметрів систем рівнянь

Як зазначалося, застосування звичайного МНК до рівнянь структурної
форми системи рівнянь призводить до отримання зміщених оцінок параметрів
через корельованість (залежність) змінних і залишків моделі, що є
порушенням однієї з передумов застосування МНК. Перехід від структурної
форми моделі до скороченої є одним із способів, що усуває проблему
корельованості, однак породжує іншу, а саме проблему ідентифікованості
окремих рівнянь системи, а також системи загалом.

Залежно від розв’язання цієї проблеми, тобто після перевірки умови
ідентифікованості кожного рівняння системи, застосовують такі методи:

1) якщо кожне рівняння системи точно ідентифіковане, то параметри
зведеної моделі оцінюють непрямим методом найменших квадратів (НМНК);
ідея методу полягає в тому, щоб від структурної форми перейти до
зведеної, звичайним МНК оцінити параметри останньої й оберненим
перетворенням отримати оцінки параметрів структурної форми;

2) усунути кореляцію між змінними та залишками моделі можна також за
допомогою методу інструментальних змінних, ідея якого полягає в тому,
щоб змінні, що корелюють із залишками, замінити іншими —
інструментальними, які тісно пов’язані з незалежними змінними моделі,
але зовсім не пов’язані з її залишками;

3) якщо рівняння структурної форми моделі надідентифіковані, то
параметри моделі оцінюють за допомогою двокрокового методу найменших
квадратів (2МНК), що передбачає виконання двох етапів:

а) перший — ендогенні змінні «звільняють» від стохастичних залишків;

б) другий — оцінені рівняння підставляють у структурну систему рівнянь,
до яких потім застосовують звичайний МНК;

4) трикроковий метод найменших квадратів для одночасного оці-нювання
всіх рівнянь системи за певних обставин ефективніший по-рівняно з
непрямим і двокроковим МНК.

Непрямий метод найменших квадратів оцінювання параметрів точно
ідентифікованих систем

Оскільки на основі звичайного МНК неможливо отримати якісні оцінки
параметрів системи одночасних рівнянь, варто скористатися іншими
методами оцінювання параметрів. Одним із них є непрямий метод найменших
квадратів, що грунтується на використанні зведе-них рівнянь.

Для ілюстрації НМНК розглянемо кейнсіанську модель форму-вання
прибутків:

У зведеній формі ця модель має вигляд

Тоді замість останніх співвідношень отримаємо

Визначення оцінок за зазначеною схемою називається непрямим ме-тодом
найменших квадратів. Зміст такої назви очевидний: перш ніж за-стосувати
звичайний МНК, початкову систему перетворили до зведеної форми, за
МНК-оцінками якої визначили оцінки початкової системи.

Оцінки параметрів a0 та a1, отримані за НМНК, є обгрунтованими, атому
при великих вибірках існує висока ймовірність, що вони наближатимуться
до істинних значень параметрів.

Зазначимо, що в цьому разі оцінки визначаються точно, а регре-сійне
рівняння в розглянутій моделі доходу є ідентифікованим (однозначно
визначеним).

Отже, при непрямому МНК виконуються такі кроки:

1) перевіряється умова ідентифікованості для кожного рівняння
структурної форми. Якщо всі рівняння точно ідентифіковані, то
виконується наступний крок, інакше застосовується інший метод;

2) вихідна структурна система рівнянь перетворюється до зведе-ної форми;

3) оцінюються за МНК параметри рівнянь у зведеній формі;

4) на основі оцінок, знайдених для зведеної форми, обчислюються
параметри структурних рівнянь за допомогою обернених перетворень.

Приклад. Розглядається модель “попит — пропозиція”:

де qt, pt — ендогенні змінні (кількість товару і ціна в році t); e1t,
E2t -випадкові відхилення; yt — екзогенна змінна (прибуток споживачів).
На підставі наступних статистичних даних необхідно оцінити коефіцієнти
функції пропозиції, використовуючи МНК і НМНК. Порівняти результати.

Побудуємо зведені рівняння зазначеної системи, віднявши від функції
пропозиції функцію попиту. Отримаємо

звідки

Неважко помітити, що функція пропозиції точно ідентифікована. Оцінки b1
і b0 параметрів р1 і р0 можуть бути визначені на основі оцінок
коефіцієнтів таких рівнянь:

За наявними статистичними даними оцінимо коефіцієнти зведе-них рівнянь:

Водночас розраховані безпосередньо за МНК оцінки даного рівняння
становитимуть:

За отриманими результатами можна зробити висновок про те, що
застосування МНК у невідповідних ситуаціях може істотно спотво-рити
картину залежності.

Метод інструментальних змінних

Іще одним способом усунення корелювання пояснюючої змінної з випадковим
відхиленням є метод інструментальних змінних.

Сутність цього методу полягає в заміні змінної, що корелює із залишками,
інструментальною змінною (ІЗ), яка повинна мати такі властивості:

корелювати (бажано значною мірою) із заміненою поясню-ючою змінною;

не корелювати з випадковим відхиленням.

Опишемо схему використання ІЗ на прикладі парної регресії, у якій

Змінну X замінюють змінною Z такою, що cov(Z;X)*0 cov(Z,e) = 0. Принципи
використання ІЗ передбачають виконання таких умов:

Відповідні вибіркові оцінки даних умов такі:

У розгорненому вигляді остання система має вигляд

Нехай зі збільшенням обсягу вибірки D(X) прямує до деякої скінченної
межі а2 , а коваріація cov(Z,X) — до скінченної межі

Покажемо, що в цьому разі b прямує до істинного значення ? 1. З
останньої системи маємо

Тут ми скористалися такими співвідношеннями: cov(Z,?0) = 0, тому що ?0 =
const; cov(Z,? 1X) = ? 1 cov(Z,X). При великих обсягах вибірки розподіл
b13 прямує до нормального:

Двокроковий метод найменших квадратів оцінювання параметрів
надідентифікованих систем

Опис цього методу супроводимо прикладом його використання для моделі
рівноваги на ринках товарів і грошей (IS-LM) для закри-тої економіки при
фіксованій податковій ставці t

Перше рівняння системи є перевизначеним (щодо змінної r). Щоб оцінити
його коефіцієнти, рекомендується скористатися двокроковим методом
найменших квадратів (2МНК), суть якого полягає у використанні як із
оцінки перевизначеної змінної, отриманої на базі екзогенних (чи
заздалегідь визначених) змінних моделі.

Крок 1.

У першому рівнянні цієї системи перевизначеною змінною є про-центна
ставка r. її можна оцінити, спираючись лише на екзогенні змінні
(наприклад, віднімаючи від другого співвідношення перше):

(Як вправу пропонується знайти коефіцієнти Х0, X1, X2, Х3 і v.)
Застосовуючи для (8.30) МНК, отримуємо оцінку г змінної r:

де f — умовна середня при фіксованих .значеннях M, G, t. Крок 2.
Підставляючи оцінку у друге рівняння системи, маємо

Ця заміна дає змогу розв’язати таку істотну проблему перевизна-чених
моделей, як корельованість пояснюючої змінної з випадковим членом
(нагадаємо, що така корельованість призводить до отримання зміщених і
необгрунтованих оцінок). Дійсно, оцінка ? виражаєть-ся лише через
екзогенні змінні, а отже, не корелює з випадковим відхиленням. Фактично
її можна розглядати як нову екзогенну змінну.

Якщо модель містить більш як одну перевизначену змінну, на пер-шому
етапі необхідно оцінити всі такі змінні.

2МНК має певні властивості, що зумовлюють його широке прак-тичне
застосування.

1. У даному методі перший етап (етап побудови зведених рівнянь)
виконується для частини перевизначених рівнянь, не зачіпаючи інші
рівняння моделі. Це дає змогу мінімізувати обсяг обчислень.

2. За наявності перевизначених рівнянь 2МНК на відміну від МНК визначає
єдині оцінки параметрів моделі.

3. Застосовуючи даний метод, достатньо використовувати лише екзогенні й
визначені змінні моделі.

4. Застосування 2МНК ефективне лише в тому разі, якщо коефіцієнт
детермінації R для зведених рівнянь, побудованих на першому етапі, буде
досить великий. При цьому (у нашому прикладі це змінна г ) незначною
мірою корелює з випадковим відхиленням і наближається до істинного
значення ( г ) заміненої змінної. При невеликому значенні R2
використання 2МНК малопродуктивне, тому що в цьому разі мало відповідає
істинному значенню заміненої змінної.

Зазначимо, що за допомогою методу інструментальних змінних як складової
2МНК можна отримувати обгрунтовані оцінки й оцінки стандартних відхилень
для вибірок великих обсягів. Однак для малих вибірок висновки будуть не
настільки конкретними.

Трикроковий метод найменших квадратів

Розглянуті методи дають змогу оцінювати параметри окремих рівнянь
системи. Кожен з них має переваги та недоліки, однак їх об’єднує спільна
риса — значний обсяг розрахунків при роботі із системами великої
розмірності, тобто із такими, що містять велику кількість рівнянь, а
отже, велику кількість змінних і параметрів. Скорочення обсягу
розрахунків стає особливо актуальним у процесі вивчення швидкоплинних
процесів, а також у тому разі, якщо змінюється пріоритетність окремих
незалежних змінних моделі. У цих випадках краще скористатися методом, що
одночасно оцінює параметри всіх рівнянь системи, зокрема трикроковим
методом найменших квадратів (ЗМНК).

Особливістю ЗМНК є те, що при оцінюванні параметрів системи загалом слід
зважати на залежності між окремими рівняннями. Ці залежності виявляються
в тому, що залишки окремих рівнянь корелюють між собою, тобто загальна
матриця коваріацій системи є недіагональною. У такій ситуації найкращим
методом оцінювання є узагальнений метод найменших квадратів (метод
Ейткена). Однак у цьому разі необхідно знати перше наближення матриці
коваріацій. Для рівнянь множинної

регресії з автокорельованими залишками цю матрицю отримують на підставі
залишків моделі, параметри якої оцінено за звичайним МНК, і вже після
обчислення коефіцієнта кореляції коригують загальний оператор оцінювання
параметрів рівняння.

Для систем рівнянь, особливо в разі надідентифікованості окремих
рівнянь, краще початкове наближення матриці коваріацій визначають за
залишками, які отримано в результаті оцінювання параметрів рівнянь за
двокроковим МНК. Отже, саме поєднання 2МНК і методу Ейткена дало назву
цьому методу.

Для практичного застосування ЗМНК потрібно виконати такі вимоги:

1) усі тотожності, які входять до системи рівнянь, виключають з
розгляду, тому що вони не містять невідомих параметрів і не
параметризуються;

2) кожне неідентифіковане рівняння також виключають із системи, оскільки
оцінити їх параметри в принципі неможливо;

3) точно ідентифіковані та надідентифіковані рівняння поділяють на дві
різні групи і ЗМНК застосовують до кожної з них окремо;

4) якщо група надідентифікованих рівнянь складається лише з одного
рівняння, то ЗМНК перетворюється на 2МНК;

5) кореляція залишків окремих рівнянь системи призводить до того, що
загальна матриця коваріацій системи є недіагональною, однак водночас не
між усіма рівняннями системи існує залежність, тому матриця коваріації
часто буває блочно-діагональною, тоді оцінювання параметрів на основі
ЗМНК виконують окремо для кожної групи рівнянь, що відповідають одному
блоку.

МНК для рекурсивних моделей

Одним із випадків успішного застосування МНК для оцінювання структурних
коефіцієнтів моделі є рекурсивні (трикутні) моделі, у яких ендогенні
змінні послідовно (рекурсивно) пов’язані одна з одною. Перша ендогенна
змінна Yt залежить лише від екзогенних змінних Х{, і=1, 2, …, т, і
випадкового відхилення еі. Друга ендогенна змінна Y2 визначається лише
значеннями екзогенних змінних Xit і=1, 2, …, т, випадковим відхиленням
є2, а також ендогенною змінною Yy Третя ендогенна змінна У3 залежить від
тих самих змінних, що і Y2, випадкового відхилення є3, а також від
попередніх ендогенних змінних ( Yj, Y2 ) і т. д.

У цих моделях структурні рівняння оцінюються поетапно (Y1 ?Y2 ?Y3 ?…
?YN). Застосовуючи МНК для таких моделей, можна отримати незміщені та
обгрунтовані оцінки.

Однак моделі даного типу трапляються досить рідко. У загально-му випадку
для оцінки структурних коефіцієнтів спочатку необхідно перетворити
вихідні рівняння до зведеної форми, а потім застосо-вувати звичайний
МНК.

Прогноз і загальні довірчі інтервали

Точковий прогноз залежних змінних визначається на підставі зве-деної
(прогнозної) форми економетричної моделі, заданої системою одночасних
рівнянь.

Визначення довірчих інтервалів для цього прогнозу залежить від способу,
яким було отримано зведену форму моделі.

У загальному випадку довірчі інтервали для кожної ендогенної змінної
задаються співвідношенням

де t ?/2 = F? — табличне значення критерію Фішера з довірчим рівнем ?
при (r,n-k-r + 1) ступенях свободи, де r — кількість рівнянь системи, n
— загальна кількість спостережень, k — кількість екзогенних змінних i-то
рівняння системи; Si2i — дисперсія залишків i-го рівняння моделі.

Довірчі інтервали для всіх ендогенних змінних визначають за формулами

це Xj — матриця спостережень k екзогенних змінних, що ввійшли в i-те
рівняння системи, розміром nхk; X — загальна матриця спостережень
розміром n * r; r — загальна кількість рівнянь системи.

Список використаної літератури

Грубер Й. Економетрія: Вступ до множинної регресії та економетрії: У 2
т. — К: Нічлава, 1998-1999.

Джонстон Дж. Эконометрические методы. — М.: Статистика, 1980. — 444 с.

Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. — М.: ИНФРА-М, 1997. —
402 с.

Дрейпер П., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Финансы и
статистика, 1986. — Т. 1 — 365 с; Т. 2 — 379 с.

Емельянов А. С. Эконометрия и прогнозирование. — М.: Экономика, 1985. —
С. 82-89.

Єлейко В. Основи економетрії. — Львів: «Марка Лтд», 1995. — 191с.

Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. Введение в
количественный экономический анализ. — М.: Статистика, 1977. — 254с.

Корольов О. А. Економетрія: Навч. посіб. — К: Європейський ун-т,2002. —
660 с.

Ланге О. Введение в эконометрию. — М.: Прогресс, 1964. — 360 с.

Лук’яненко I. Г., Краснікова Л. І. Економетрика: Підручник. — К.: Т-во
«Знання», КОО, 1998. — 494 с

Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика: Навч. курс.
— М.: Дело, 1997. — 248 с.

Маленво Э. Статистические методы эконометрии. — М.: Статистика, 1975. —
423 с.

Наконечний С. I., Терещенко Т .О., Романюк Т. П. Економетрія: Навч.
посіб. — К: КНЕУ, 1997. — 352 с.

Тинтнер Г. Введение в эконометрию. — М.: Статистика, 1965. — 368 с.

Толбатое Ю. А. Економетрика: Підруч. для студ. екон. спец. вищ. навч.
закл. — К.: Четверта хвиля, 1997. — 320 с.

Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометрии. — М.: Статистика, 1978. —
224 с.

Хеш Д. Причинный анализ в статистических исследованиях. — М.: Финансы и
статистика, 1981. — 224 с.

Венецкий И. Г., Венецкая В. И. Основные математико-статистические
понятия и формулы в экономическом анализе: Справочник. — 2-е изд.,
перераб. и доп. — М.: Статистика, 1979. — 448 с.

Винн Р., Холден К. Введение в прикладной эконометрический анализ. — М:
Финансы и статистика, 1981. — 294 с.

Геец В. М. Отраслевое прогнозирование: методологический и
организационный аспекты. — К.: Наук, думка, 1990. — 120 с.

Гранберг А. Г. Динамические модели народного хозяйства. — М.: Экономика,
1985. — 204 с.

Гранберг А. Г. Статистическое моделирование и прогнозирование. — М.:
Финансы и статистика, 1990. — 378 с.

Похожие записи