Пошукова робота:

Динамічні моделі

Зміст

1. Виробнича функція

2. Моделі економічного циклу

3. Моделі економічного зростання

Список використаної літератури

Виробнича функція

Для опису взаємозв’язку між затратами чинників виробництва і обсягом
продукції, що випускається, в економіці використовують поняття
виробничої функції.

Технологічна залежність між структурою затрат ресурсів, наприклад працею
(L) та капіталом (К), і максимально можливим випуском продукції (Q)
записується за допомогою такої виробничої функції:

Y = F(L, К) або Q = F(L, К).

Виробнича функція показує, який максимальний обсяг випуску Y може бути
одержаний при кожному конкретному наборі витрачених ресурсів і незмінній
технології. Зміна технології приводить до зміни самої функціональної
залежності.

Введемо позначення: Q — обсяг випуску; L — кількість праці; К—кількість
фізичного капіталу; А — змінна, яка залежить від ефективності виробничих
технологій; FQ — функція, яка визначає залежність обсягів випуску
продукції від значень витрат чинників виробництва.

Більшість виробничих функцій має властивість постійної віддачі від
масштабу. Це означає, що при одночасній зміні всіх чинників виробництва
на одну й ту саму величину функція змінюється на ту ж саму величину.
Розглянемо виробничу функцію для двох чинників L та К.

Математично це означає, що для будь-якого додатного числа z:zQ = A F(zL,
zK).

Якщо z=l,2, то при зростанні обох чинників виробництва на 20 %обсяг
випуску продукту також зросте на 20 %, або в 1,2 раза.

Залежно від кількості чинників виробнича функція визначається як
одночинникова, двочинникова, багаточинникова.

Функціональна залежність може бути подана в табличній, графічній та
аналітичній формах.

Для неперервної і диференційованої двочинникової виробничої функції
формула може бути записана з використанням часткових похідних функції
двох змінних:

Технологічна норма заміщення MRTS показує вибір між двома чинниками у
виробництві. Вона вимірює пропорцію, у якій фірмі потрібно замінити один
чинник іншим, щоб залишити випуск без змін.

Виробнича функція відповідає закону спадної віддачі чинників
виробництва.

Розглянемо двочинникову виробничу функцію (див. таблицю) заданими так
званої виробничої сітки. Кожна клітина таблиці відображає максимальний
обсяг випуску, який забезпечується відповідними обсягами чинників.

Для побудови двочинникової функції вибираємо з таблиці різні комбінації
ресурсів, які забезпечують один і той самий обсяг випуску, і наносимо
точки з відповідними координатами (L, K) на координатну площину. Якщо
з’єднати ці точки плавною кривою, одержимо лінію незмінного випуску —
ізокванту (рис. 4.1). Ізокванта — крива, що показує всі можливі
комбінації ресурсів (L, K), які дозволяють от-римати певний фіксований
обсяг виробництва (Q).

Аналогічно можна розглянути різні варіанти досягнення обсягіввипуску Q =
10, Q = 15 та побудувати відповідні їм ізокванти. Су-купність ізоквант
однієї виробничої функції, кожна з яких відповідаєпевному обсягу випуску
продукції, називається картою ізоквант. Фун-кція відображає залежність
між обсягом випуску (Y) та працею (L).

Рис. 1. Карта ізоквант

Типовим прикладом виробничої функції в аналітичній формі може бути
виробнича функція Кобба-Дугласа:

Її ізокванти мають вигляд кривих, які ми розглянули вище. Вони опуклі в
бік початку координат і не перетинають їх, а необмежено наближаються до
координатних осей. Це означає, що чинники виробництва можуть лише
частково замінювати один одного, але повна заміна є неможливою, тобто
F(0, K) = F(L, 0) = 0.

Наступний приклад виробничої функції — функція з фіксованими пропорціями
чинників, яка має назву виробничої функції Леонтьева(рис. 2): Q =
min(aL, bK); a, b > 0.

Виробнича функція Леонтьева

Рис. 3. Лінійна виробнича функція з повним заміщенням чинників
виробництва

Третій приклад лінійна виробнича функція з повним заміщенням чинників
виробництва (рис. 4.3): Q = aL + bK; a, b > 0.

Для випадку a = b = 1 (рис. 4.3) AK/AL = 1.

Моделі економічного циклу

Економічний цикл (цикл ділової активності) — це періодичний підйом або
спад реального ВВП на фоні загальної тенденції до зростання.

Кожен цикл становить певну послідовність, яка складається з
альтернативних фаз, що повторюються. Економічний цикл характеризується:
1) самовідтворенням; 2) безперервністю; 3) хвилеподібним характером
динаміки макроекономічних показників. Двофазові моделі містять у собі
фази піднесення і спаду та найвищу і найнижчу точки циклу.

За тривалістю економічні цикли поділяють на: короткі (малі) — коливання
ділової активності 3-4 роки; середні — коливання ділової активності 8-10
років; великі (довгі хвилі) — з періодичністю 48-55 років.

Модель Самуельсона-Хікса — це кейнсіанська модель економічного циклу.

У моделі Самуельсона–Хікса беруть участь два економічних суб’єкти:
домогосподарства і фірми. Припускається фіксованість рівня цін і
відсоткової ставки [2].

Споживання поточного періоду Ct визначається доходом попереднього
періоду Yt-1:

Ct = c’Yt-1,де c’ = MPC — гранична схильність до споживання.

Функція сукупного попиту має вигляд:

Це — статична модель циклу. Ita — автономні інвестиції фірм. При
зростанні автономних інвестицій за принципом мультиплікатора зростає
сукупний попит і дохід. Приріст доходу викликає зміну індуційованих
інвестицій (інвестиції, які залежать від доходу). Отже, ефект
мультиплікатора викликає дію акселератора. Акселератор — відношення
при-росту індуційованих інвестицій до відносного приросту доходу.
Формула акселератора:

Отже, функція сукупного попиту може бути представлена так:

Це — динамічна модель економічного циклу, або модель взаємодії
мультиплікатора та акселератора, у якій сукупний попит залежить відc’ та
А. За Хіксом, с та А можуть викликати коливання, а не вибухи попиту,
оскільки існують певні обмеження. Нижнє обмеження — вели-чина
амортизаційних відрахувань, верхнє — рівень повної зайнятості.

Модель Калдора — кейнсіанська модель економічного циклу(рис.4).

Особливості моделі.

1. Функції споживання та інвестицій мають нелінійний характер та
описуються логістичними кривими (S-кривими).

2. Рівновага економічної системи залежить від граничної схильності до
заощадження та граничної схильності до інвестування. Ці величини
визначають нахил ліній заощадження та інвестицій. Якщо гранична
схильність до інвестування більша за граничну схильність до заощадження,
то економіка перебуває у нестійкій рівновазі. Якщо

гранична схильність до інвестування менша за граничну схильність до
заощадження, то економіка перебуває у стійкій рівновазі.

3. За Калдором, обсяг інвестицій та заощаджень змінюється залежно від
фази економічного циклу.

Рис. 4. Зміна функції інвестицій від зміни доходу

Розглянемо чотирифазову модель економічного циклу, яка скла-дається з
таких фаз: спад, депресія, пожвавлення, піднесення. В умовах спаду та
депресії спостерігається незначний рівень безробіття і не-довантаження
виробничих потужностей. Для збільшення доходу інвестиції не потрібні,
оскільки при зростанні зайнятості зросте за-вантаження виробничих
потужностей. Лінія інвестицій у цьому випадку є пологою (I). В умовах
пожвавлення існують висока зайнятість і повне завантаження виробничих
потужностей. Тому для збільшення виробництва і доходу потрібні
інвестиції. Еластичність інвестицій за доходом більша за одиницю у
зв’язку із зростанням реального капіталу. Лінія інвестицій набуває
крутизни (II). В умовах піднесення (надлишкової зайнятості та високого
доходу або інфляційного розриву) інвестиції втрачають еластичність за
доходом. Їх упровадження пов’язане зі значними втратами та ризиком
(III).

Зміна функції заощаджень від зміни доходу

При спаді та депресії гранична схильність до заощаджень є високою,
оскільки люди прагнуть більше заощадити “на чорний день”. Лінія
заощаджень є крутою (I). При пожвавленні гранична схильність до
заощаджень зменшується, а гранична схильність до споживання зростає.
Лінія заощаджень є пологою (II). При піднесенні гранична схильність до
заощаджень зростає. Лінія заощаджень є крутою (див. рис. 5).

Об’єднаємо графіки функцій інвестицій і заощаджень.

Рівновага на ринку благ встановлюється за умови I(Y, t) = S(Y, t)(рис.
6). У моделі Калдора така статична рівновага може бути досягнута як
короткострокова. Протягом одного циклу значення обсягів заощаджень та
інвестицій може збігатися тільки тричі (точкиА, В, С).

Рис. 6. Рівновага у моделі Калдора

У точках А та С MPS > MPI => рівновага стійка, оскільки відхилення від А
та С праворуч викликає товарний надлишок (S>I) і сприяє зменшенню обсягу
виробництва. Відхилення ліворуч викликає товарний дефіцит і сприяє
зростанню виробництва.

У точці В: MPI > MPS => рівновага нестійка, оскільки будь-яке випадкове
відхилення від точки В ліворуч призводить до товарного над-лишку (S >
I). А це буде викликати подальший спад виробництва. Відхилення від точки
В праворуч утворює товарний дефіцит (I > S), що викликає подальше
зростання виробництва. У точках А та С рівновага короткострокова. Вона
порушується внаслідок зміни схильності підприємців до інвестування.

В умовах спаду та депресії гранична схильність до інвестування є малою:
Ic < 0, I - A < 0, I < A (рис. 4.7 а, б). Дефіцит діючого капіталу викликає зростання граничної схильності до інвестування, попит на інвестиції зростає, і графік I(Y, t) зміщується догори. Модель Калдора В умовах піднесення гранична схильність до інвестування є великою: Ic >
0, I — A > 0, I > A (рис. 4.7, в). Обсяг капіталу перевищує максимально
допустимий, гранична схильність до інвестування спадає, попит на
інвестиції зменшується і графік I(Y, t) зміщується донизу, поки не
починається криза (рис. 4.7, г, ґ). Отже, за економічного циклу
спостерігається почергова зміна стійкої та нестійкої рівноваги.

Моделі економічного зростання

Кейнсіанська модель економічного зростання Домара була запропонована
наприкінці 40-х років XX ст. Вона визначає роль інвестицій у збільшенні
сукупного попиту та у збільшенні виробничих потужностей сукупної
пропозиції в часі. Є. Домар досліджував проблему повної зайнятості в
довгостроковому періоді та необхідність врахування обох складових
інвестицій — мультиплікатора та акселератора.

Основні припущення моделі.

1. Технологія виробництва подається у вигляді виробничої
функціїЛеонтьева.

2. Негнучкість цін викликає на ринку праці надлишкову пропозицію.

3. Вибуття капіталу відсутнє.

4. Норма заощадження є величиною постійною.

5. Випуск залежить від єдиного ресурсу — капіталу.

6. Ринок благ збалансований.

7. Інвестиційний лаг дорівнює нулю.

Припустімо, що сукупний попит зростає в результаті інвестиційних витрат.
Тоді приріст доходу набуде такого значення:

AY= Alls’,де S — MPS— гранична схильність до заощадження.

За моделлю Домара, у короткостроковому періоді зростання інвестицій не
призводить до зростання виробничих потужностей. Це трапляється у
довгостроковому періоді. У моделі визначається необхідний темп зростання
інвестицій для того, щоб виконувалась тотожність між темпом приросту
виробничих потужностей і темпом приросту доходу. Він задається таким
рівнянням:

AI/I=MPS-Q,де Q — капіталоємність, відношення приросту інвестицій до
приросту випуску продукції.

Ліворуч у рівнянні — річний темп зростання інвестицій, який повинен
збільшуватись з річним темпом s Q для забезпечення повної зайнятості
шляхом зростання виробничих потужностей.

Кейнсіанська модель економічного зростання Харрода розроблена1939 р.
Вона досліджує проблеми збалансованого зростання на основі принципу
акселератора та очікувань підприємців.

Основні умови моделі.

1. Тотожність заощаджень та інвестицій: St — Ір де t — період часу.

2. Заощадження залежать від національного доходу того ж самого періоду:
St — sYt, де s — схильність до заощадження.

3. Інвестиції залежать від швидкості зміни доходу від одного періоду до
наступного періоду: І{ — a(Yt- Yt_^), де Yt — дохід у поточному періоді;
Yt_x — дохід у минулому періоді; а — акселератор.

4. Умова рівноваги: AY/Yt- s/a, де AY — Yt- Yt_v

У лівій частині рівняння — відсоткова зміна доходу. У правій —відношення
величини s (граничної схильності до заощадження) до акселератора.
Швидкість зміни доходу називається гарантованим темпом зростання (для
підприємців).

Фактичний темп зростання визначається в моделі сумою темпу зростання
робочої сили і темпу зростання продуктивності праці.

Природний темп зростання — це максимально допустимий темп зростання
населення та технічного прогресу.

Якщо природний темп зростання перевищує гарантований, економіка
відхиляється від гарантованого темпу зростання і спостерігається
довгострокове піднесення економіки. Якщо гарантований темп зростання
перевищує природний, спостерігається довгострокова стагнація економіки.

Економіка набуває стійкого розвитку лише за умови рівності фактичного,
гарантованого та природного темпів зростання. Оскільки такого стану в
економіці досягти практично неможливо, динамічна рівновага в умовах
економічного зростання є нестійкою. Отже, за кейнсіанською теорією в
економіку повинна втручатись держава.

Модель Харрода-Домара належить до макроекономічних моделей економічного
зростання і є їх узагальненням. Розглянемо модель з неперервним часом,
яка описує динаміку доходу Y(f).

Дохід розглядається як сума споживання та інвестицій:Y(f) — C(t) + 1(f).
Економіка вважається закритою, отже, чистий експорт дорівнює нулю.
Держава не втручається в економіку.

Основні умови моделі.

1. Швидкість зростання доходу пропорційна інвестиціям:

1(f) — BdYldp де В — коефіцієнт капіталомісткості приросту доходу. І/В —
прирісна капіталовіддача.

2. Інвестиційний лаг дорівнює нулю. Інвестиції миттєво переходять у
приріст капіталу, тобто AK(t) — 1(f), де AK(t) — неперервна функція
приросту капіталу в часі.

3. Вибуття капіталу немає.

4. Виробнича функція в моделі є лінійною.

5. Випуск не залежить від витрат праці, оскільки праця не є дефіцитним
ресурсом.

6. Модель не враховує технічного прогресу.

Модель призначена для вивчення взаємозв’язку динаміки інвестицій і
зростання випуску. Для прогнозування величини сукупного випуску її не
застосовують.

Показник обсягу споживання C(f) може бути постійним у часі, зростати із
заданим постійним темпом або мати будь-яку іншу динаміку.

Припустімо, що C(t) — С, або є величиною, що постійна у часі.
Підставивши в рівняння доходу величину С, одержимо неоднорідне лінійне
диференційне рівняння: Y(f) — BY(t) + С.

Його частковим розв’язанням є Y(t) = C. Додамо це розв’язання до
загального розв’язання однорідного рівняння Y(t) = A etBl та одержимо
його загальне розв’язання:

Y(t) = Ae(B t + C.

Підставимо t = 0, одержимо A = Y(0) — C = I(0) та

Y(t) = (Y(0) — C) e B + C.

Неперервний темп приросту доходу в цьому розв’язанні дорівнює:

Він складає

Це означає, що дохід зростає, а постійний обсяг споживання становить все
меншу його долю.

Величина у дужках а(t) = [1 — C/Y(t)] є нормою нагромадження у момент
часу t, і темп приросту доходу виявляється пропорційним цій величині,
так само як показнику прирістної капіталовіддачі 1/B.

Отже, зростання норми нагромадження пропорційно збільшує темпи приросту
доходу. Однак це знижує рівень поточного споживання. Для розв’язання
проблеми узгодження конкурентних цілей збільшення темпів зростання та
рівня поточного добробуту у модель зазвичай включають елементи
оптимізації.

Розглянемо варіант моделі, у якій споживання зростає з постійним темпом
r.

Диференційне рівняння цієї моделі має вигляд:

Y(t) = B Y(t) + C(0) ert.Розв’язання цього рівняння є таким:

Висновок з моделі є таким. Темп приросту споживання r не повинен бути
більшим за максимально можливий загальний темп приросту 1/B, оскільки з
часом споживання може перевищити дохід. Для вибору значення r потрібно
також брати до уваги переваги осіб, які приймають рішення.

Неокласична модель економічного зростання Р. Солоу. Модель була вперше
наведена у праці Роберта Солоу «Внесок до теорії економічного зростання»
(1956). За розробку теорії економічного зростання Р. Солоу в 1987 р.
було присуджено Нобелівську премію. Модель зростання Солоу є складною
теоретичною моделлю. Над її розробкою автор працював десятиліття. Модель
показує, як заощадження, зміна чисельності населення і технічний прогрес
впливають на економічне зростання.

Основні передумови моделі.

1. Враховано вплив трьох чинників: запасу капіталу, зростання населення
та технічного прогресу.

2. Визначено чинники зростання, які мають короткостроковий вплив (запас
капіталу та зростання чисельності населення) і довгостроковий (технічний
прогрес).

3. Визначальну роль відіграють заощадження.

4. Кінцевим результатом є зростання продуктивності праці у — YIL,де Y—
обсяг випуску; L — кількість праці; у — продуктивність праці.

Значення у — продуктивності праці — можна одержати перетворенням
виробничої функції:

Y = F(K, L); YIL = F(K/L,l); у =ssk),де К — кількість фізичного
капіталу.

5. Заощадження дорівнюють інвестиціям: S — І.

Пропозиція валового продукту в моделі Солоу формалізується у вигляді
виробничої функції: Y — F(K, L), Попит задається через характеристики
споживання (с) та інвестицій (і) у розрахунку на одиницю праці: у — с +
і, де с = CIL, а і — IIL.

Оскільки споживання є пропорційним до доходу і залежить від норми
заощаджень (s), то:

c=(l-s)y,y=(l-s)y + i.

Звідки і — s у , і — sf(k).

В умовах рівноваги інвестиції дорівнюють заощадженням і є пропорційними
до доходу. Після перетворень одержуємо сукупність рівнянь, які виражають
дохід, споживання, інвестиції в розрахунку на одного працівника як
функцію від капіталоозброєності праці (див. рис. 8):

Запас капіталу залежить від обсягу інвестицій та вибуття капіталу (рівня
його амортизації). їх співвідношення визначає зростання капіталу.

Виробнича функція та функція інвестицій

Виробнича функція є нелінійною і характеризується спадною граничною
продуктивністю праці. Норма заощаджень s є постійною, і заощадження
дорівнюють інвестиціям. Чим більшим є запас існуючого капіталу, тим
більше буде його вибуття. Функція вибуття є лінійною.

Рис. 4. Стійкий рівень капіталоозброєння праці

За стійкого рівня капіталоозброєння праці k* досягається рівність між
величиною інвестицій та амортизації. За будь-якого рівня
капіталоозброєння економіка збігає до точки рівноваги k* (рис. 9).

Співвідношення між інвестиціями (валовими) та амортизацією є показником
стану економіки країни (рис. 10).

Рис. 10. Зростаюча, статична та стагнуча економіка

Точка k1 означає, що капіталу інвестується більше, ніж виробляється.
Рівень інвестицій перевищує рівень вибуття капіталу. Це означає, що в
економіці накопичуються запаси капіталу. За рік споживається менше
капіталу, ніж виробляється, економіка зростаюча. Точка k* означає
стійкий стан, або рівність між рівнем інвестицій і рівнем вибуття
капіталу (інвестиціями). Економіка є статичною або застійною. Точка k2
означає, що капіталу інвестується менше, ніж виробляється. Рівень
вибуття капіталу перевищує рівень інвестицій. Це означає, що в економіці
зменшуються запаси капіталу. За рік споживається більше капіталу, ніж
виробляється, економіка спадна (стагнуча).

Отже, зростання капіталоозброєння є чинником економічного зростання лише
за умови, що капіталоозброєння праці не досягло стійкого стану, тобто k1
< k*. На графіку це усі точки ліворуч від k*. Знайдемо приріст k, тобто ті умови, за яких інвестиції перевищують вибуття (амортизацію) капіталу: Оскільки в точці k* приросту капіталу немає, то М = 0.Звідси: Поділимо обидві частини рівняння на оf(k*), одержимо: Приклад. Виробнича функція має вигляд: y = f(k) = k, норма заощадження s = 0,25, норма амортизації о = 0,15. Обчисліть стійкий рівень капіталоозброєння. Зростання норми заощаджень є джерелом економічного зростання. Але збільшення норми заощаджень супроводжується скороченням норми споживання. Ця суперечність у межах моделі Солоу розв’язується так. “Золоте правило" нагромадження як критерій максимізації рівня споживання. Критерієм при виборі норми заощадження є максимізація добробуту суспільства, тобто якнайбільше споживання. За “золотим правилом”, норма заощаджень, за якої формується стійке капіталоозброєння, повинна враховувати максимум споживання. За “золотим правилом”, гранична продуктивність капіталу дорі-внює нормі його вибуття: MPK = о. Приклад. Виробнича функція має виглядy = 4k, о = 0,24. Розрахувати рівень капіталоозброєності, який відповідатиме “золотому правилу”. У моделі Солоу доведено, що зростання населення діє на капіталоозброєння так само, як і вибуття капіталу. Інвестиції збільшують запас капіталу і капіталоозброєність праці, а зношування капіталу і зростання кількості працюючих її зменшують. Розглянемо рівняння визначення стійкого рівня капіталоозброєн-ня з урахуванням зростання населення і технічного прогресу:Ak = i -ck - nk = sf(k) - (о + n)k, де n приріст населення. Показник (о + n)k називають критичною величиною інвестицій(break-even investment). Ця величина показує, на скільки необхідно збільшити величину капіталу, щоб його запас, який припадає на одного працюючого з урахуванням вибуття капіталу та зростання кількості працюючих, залишився незмінним. Рівняння визначення стійкого рівня капіталоозброєння набуває вигляду: Зростання населення неоднозначно впливає на економічне зростання. У межах стійкого стану економіки випуск продукції на одного працівника залишається незмінним, оскільки незмінним є капіталоозброєння праці. Однак загальний продукт може зростати за рахунок збільшення кількості працівників. Зростання населення може викликати і зменшення капіталоозброєння, і продуктивності, якщо воно не компенсується зростання мінвестицій. Наслідком прискореного зростання населення є зменшення капіталоозброєння. Ця частина моделі використовується як аргумент для пояснення того, чому в країнах з високим щорічним темпом приросту населення є низькими продуктивність праці та випуск продукції на душу населення. Високий темп приросту населення стає гальмом економічного зростання у тому випадку, коли зростання інвестицій не може його компенсувати. Джерелом економічного зростання є технічний прогрес. Припускається, що співвідношення витрат праці та капіталу, з одного боку, та випуск продукту — з іншого лишається незмінним. Якщо населення зростає з темпом п, а ефективність праці — з темпом g, то загальний обсяг виробництва збільшується під впливом приросту населення та технічного прогресу з темпом (п + g), З урахуванням технічного прогресу "золоте правило" формулюється так: для максимізації споживання необхідно, щоб чиста гранична продуктивність капіталу (приріст продукту на додаткову одиницю капіталу без амортизації) дорівнювала темпу приросту загального обсягу виробництва (я + g): МРК — о + п + g. Список використаної літератури 1. Будаговсъка С, Кілієвич О. Мікроекономіка та макроеконо-міка: Підруч. для студентів екон. спец. закл. освіти. — К.: Основи, 1998. 2. Вечканов Г. С, Вечканова Г. Р. Макроэкономика. — СПб.:Питер, 2000. 3. Замков О. О., ЧеремныхЮ. А., Толстопятенко А. В. Математические методы в экономике: Учебник. — 2-е изд. — М.:Изд-во МГУ; Дело и сервис, 1999. 4. Нуреев Р. М. Курс микроэкономики: Учеб. для вузов. — М.:НОРМА, 2000. 5. Радіонова І. Макроекономіка та економічна політика. — К.:Таксон, 1996. 6. СелиіцевА. С. Макроэкономика. — СПб.: Питер, 2000.

Похожие записи