1.
*1. Говорят, что функция f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b), если
для любых точек x1
случае функцию называют монотонной на (a,b).
Т1. Дифференцируемая на (a,b) функция f(x) тогда и только тогда не
убывает (не возрастает) на (a,b), когда f((x)(0 ((0) при любом x((a,b).
Док-во: 1) Достаточность. Пусть f((x)(0 ((0) всюду на (a,b). Рассмотрим
любые x1
возрастает) на (a,b). 2) Необходимость. Пусть, например, f(x) не убывает
на (a,b), x((a,b), x+(x((a,b), (x>0. Тогда (f(x+(x)-f(x))/(x(0. Переходя
к приделу при (x(0, получим f((x)(0. Теорема доказана.
Т2. Для возрастания (убывания) f(x) на (a,b) достаточно, чтобы f((x)>0
(0 (f(x). По теореме Лагранжа (применительно к отрезку
[x,x0] или [x0,x]) f(x)–f(x0)=(x- x0)f(((), где ( лежит между x0 или x:
а) x0(f(x)–f(x0)f(x); б) x>x0(x–x0>0,
f((()f(x).
Замечание 2. Если f((x) не меняет знака при переходе через точку х0, то
х0 не является точкой экстремума.
Т2. (Второе достаточное условие экстремума). Пусть x0 – стационарная
точка функции y=f(x), которая имеет в точке x0 вторую производную.
Тогда: 1) f((( x0)>0(f имеет в точке x0 локальный минимум. 2) f(((
x0)0, (x((a,b)(график f(x) имеет на (a,b) выпуклость, направленную
вниз; 2) ) f(((x)
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
