Пошукова робота на тему:
Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції. Приклади
первісних, що не є елементарними функціями. Використання таблиць
неозначених інтегралів.
План
Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції
– ціле, додатне число)
8.3.9. Інтегрування трансцендентних функцій
інтеграл перетворюється в такий :
нас цікавить не тільки сам по собі, а й у зв’язку з тим, що й інші
інтеграли зводяться до нього.
тобто до інтеграла, розглянутого в п.9.8.
, або, можливо, і не володіє цими властивостями. Нехай
Очевидно, що в цьому випадку її можна подати
то
Тому
Звідси випливає така підстановка:
,
.
.
на
то доцільною є
.
, тому
, одержимо
.
, (8.26)
,
перетворить інтеграл до вигляду
.
, яку називають універсальною.
зведе інтеграл до вигляду
.
, яка зведе інтеграл до вигляду
.
, то
.
.
.
.
. З її допомогою інтеграл перетвориться в
.
в) Усі інтеграли вигляду
– раціональна функція, інтегруються в замкненому вигляді. Цей висновок
випливає з п.9.4.
В результаті матимемо
Аналогічно обчислюється і другий інтеграл.
– цілі невід’ємні числа, обчислюються, використовуючи формули
тригонометрії для пониження степеня:
(8.27)
які легко обчислюються.
).
можна
проінтегрувати, застосовуючи формулу Муавра. Маємо:
(8.28)
Далі обчислимо:
Аналогічно
.
е) Усі інтеграли вигляду
є цілою раціональною функцією відносно синусів і косинусів величин, що
стоять під знаком функції, а всі константи є дійсними числами.
Оскільки ціла раціональна функція будується лише на основі дій
додавання, віднімання і множення ( зокрема піднесення до цілого
додатного степеня ) , то кожний добуток двох множників можна подати у
вигляді суми двох доданків на основі формул
(8.29)
. Кожна така лінійна комбінація інтегрується елементарно.
– довільний поліном, інтегруються у замкненому вигляді.
Цей висновок випливає з п.8.3.8.
– ціле число.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
