Брянский Городской Лицей №1
Исследовательская работа на тему:
Метод Математической Индукции
Выполнил
Мелешко
Константин
ученик 10
физико-математического
Брянского
Городского Лицея №1
Проверил
Тюкачева Ольга Ивановна
-2003-
Содержание исследовательской работы
Содержание_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2
Введение_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3
Основная часть
Полная и неполная индукция_ _ _ _ _ _ _ _ _3-4
Принцип математической индукции_ _ _ _ _4-5
Метод математической индукции_ _ _ _ _ _ 6
Решение Методом Математической Индукции
К задачам на суммирование_ _ _ _ _ _ _ _ _ 7
К задачам на доказательство неравенств_ _8
К задачам на делимость _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _11
К задачам на доказательство тождеств _ _ _12
К другим задачам _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 13
Заключение_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 16
Список использованной литературы _ _ _ _17
Введение
Слово индукция по-русски означает наведение, а индуктивными называют
выводы, сделанные на основе наблюдений, опытов, т.е. полученные путем
заключения от частного к общему.
Роль индуктивных выводов в экспериментальных науках очень велика. Они
дают те положения, из которых потом путем дедукции делаются дальнейшие
умозаключения. И хотя теоретическая механика основывается на трех
законах движения Ньютона, сами эти законы явились результатом глубокого
продумывания опытных данных, в частности законов Кеплера движения
планет, выведенных им при обработке многолетних наблюдений датского
астронома Тихо Браге. Наблюдение, индукция оказываются полезными и в
дальнейшем для уточнения сделанных предположений. После опытов
Майкельсона по измерению скорости света в движущейся среде оказалось
необходимым уточнить законы физики, создать теорию относительности.
В математике роль индукции в значительной степени состоит в том, что она
лежит в основе выбираемой аксиоматики. После того как длительная
практика показала, что прямой путь всегда короче кривого или ломанного,
естественно было сформулировать аксиому: для любых трех точек А, В и С
выполняется неравенство
.
Лежащее в основе арифметики понятие «следовать за» тоже появилось при
наблюдениях за строем солдат, кораблей и другими упорядоченными
множествами.
Не следует, однако, думать, что этим исчерпывается роль индукции в
математике. Разумеется, мы не должны экспериментально проверять теоремы,
логически выведенные из аксиом: если при выводе не было сделано
логических ошибок, то они постольку верны, поскольку истинны принятые
нами аксиомы. Но из данной системы аксиом можно вывести очень много
утверждений. И отбор тех утверждений, которые надо доказывать, вновь
подсказывается индукцией. Именно она позволяет отделить полезные теоремы
от бесполезных, указывает, какие теоремы могут оказаться верными, и даже
помогает наметить путь доказательства.
Суть Математической Индукции
Покажем на примере использование Метода Математической Индукции
и в конце сделаем обобщающий вывод.
Пусть требуется установить, что каждое натуральное чётное число
n в пределах 4 p, где
p-фиксированное натуральное число. В этом случае принцип
математической индукции формулируется следующим образом.
Если предложение А(n) истинно при n=p и если А(k)(А(k+1) для любого
k>p, то предложение А(n) истинно для любого n>p.
Доказательство по методу математической индукции проводиться следующим
образом. Сначала доказываемое утверждение проверяется для n=1, т.е.
устанавливается истинность высказывания А(1). Эту часть доказательства
называют базисом индукции. Затем следует часть доказательства,
называемая индукционным шагом. В этой части доказывают справедливость
утверждения для n=k+1 в предположении справедливости утверждения для n=k
(предположение индукции), т.е. доказывают, что А(k)(A(k+1).
Применение метода математической индукции в задачах на суммирование
Применение метода математической индукции в задачах на суммирование
Пример:
Доказать, что
1
Решение.
, следовательно, при n=1 формула верна.
Пусть k- любое натуральное число и пусть формула верна при n=k, т.е.
Докажем тогда
В самом деле ,
.
Значит, по принципу математической индукции формула верна для любого
натурального n.
Примеры применения метода математической индукции к доказательству
неравенств.
Доказать, что при любом натуральном n>1
.
Решение.
.
, следовательно, при n=2 неравенство справедливо.
.
.
.
Пример 2. Найти ошибку в рассуждении.
.
Доказательство.
Пусть неравенство справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное
число, т.е.
. (1)
Докажем, что тогда неравенство справедливо и при n=k+1, т.е.
.
. Утверждение доказано.
, n – натуральное число, большее 1.
Решение.
.
Пусть неравенство справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное
число, т.е.
. (1)
Покажем, что тогда неравенство справедливо и при n=k+1, т.е.
. (2)
, поэтому справедливо неравенство
, (3)
, получим справедливое неравенство (2).
Пример 4. Доказать, что
(1)
, n – натуральное число, большее 1.
Решение.
При n=2 неравенство (1) принимает вид
. (2)
, то справедливо неравенство
. (3)
, получим неравенство (2).
Этим доказано, что при n=2 неравенство (1) справедливо.
Пусть неравенство (1) справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное
число, т.е.
. (4)
Докажем, что тогда неравенство (1) должно быть справедливо и при n=k+1,
т.е.
(5)
, то получаем следующее справедливое неравенство:
. (6)
Для того чтобы доказать справедливость неравенства (5), достаточно
показать, что
, (7)
или, что то же самое,
. (8)
Неравенство (8) равносильно неравенству
. (9)
, и в левой части неравенства (9) имеем произведение двух отрицательных
чисел. В обоих случаях неравенство (9) справедливо.
Этим доказано, что из справедливости неравенства (1) при n=k следует его
справедливость при n=k+1.
Метод математической индукции в решении задач на делимость.
С помощью метода математической индукции можно доказывать различные
утверждения, касающиеся делимости натуральных чисел.
Следующее утверждение можно сравнительно просто доказать. Покажем, как
оно получается с помощью метода математической индукции.
четное.
четно при всех натуральных значениях n.
Пример 2. Доказать истинность предложения
кратно 19}, n – натуральное число.
Решение.
кратно 19} истинно.
Предположим, что для некоторого значения n=k
кратно 19} истинно. Тогда, так как
, очевидно, что и A(k+1) истинно. Действительно, первое слагаемое
делится на 19 в силу предположения, что A(k) истинно; второе слагаемое
тоже делится на 19, потому что содержит множитель 19. Оба условия
принципа математической индукции выполнены, следовательно, предложение
A(n) истинно при всех значениях n.
Доказательство тождеств с помощью метода математической индукции
Доказать , что при всех допустимых значениях x имеет место тождество:
Решение. Надо доказать , что тождество справедливо при всех x , кроме
x=0, 1, -1.
При n=1 имеем:
,
т.е. при n=1 тождество выполняется.
Предположим , что
Докажем , что тогда
Имеем:
Итак, тождество верно для любого натурального числа n.
Метод математической индукции в применение к другим задачам.
Наиболее естественное применение метода математической индукции в
геометрии, близкое к использованию этого метода в теории чисел и в
алгебре, – это применение к решению геометрических задач на вычисление.
Рассмотрим несколько примеров.
– угольника, вписанного в круг радиуса R.
Решение.
. Далее, согласно формуле удвоения
равна
. (1)
– угольника выражается формулой (1). В таком случае по формуле удвоения
,
откуда следует, что формула (1) справедлива при всех n.
Пример 2. На сколько треугольников n-угольник (не обязательно выпуклый)
может быть разбит своими непересекающимися диагоналями?
Решение.
Для треугольника это число равно единице (в треугольнике нельзя провести
ни одной диагонали); для четырехугольника это число равно, очевидно,
двум.
Предположим, что мы уже знаем, что каждый k-угольник, где k
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
