Нижегородский государственный
архитектурно-строительный университет.
Кафедра сопротивления материалов и теории упругости.
Расчетно-проектировочная работа
Плоская задача теории упругости
Выполнил:
Студент гр. 163 А.В.Троханов
Проверила:
Т.П. Виноградова
Н.Новгород 2002 г.
Из тела находящегося в плоском напряженном состоянии, выделена пластина,
толщина которой 1 см, размеры в плане 20х20 см.
Схема закрепления пластины.
Задаваясь функцией напряжений, общий вид которой
Ф (х,у)=а1х3у+а2х3+а3х2у+а4х2+а5ху+а6у2+а7ху2+а8у3+а9ху3
Принять два коэффициента функции согласно таблиц 1 и 2, остальные шесть
коэффициентов принять равными нулю. В этих же таблицах даны значения
модуля упругости Е и коэффициента Пуассона для материала пластины.
Найти общие выражения для напряжений (х, (у, (ху (объемные силы не
учитывать) и построить эпюры этих напряжений для контура пластины.
Определить выражения для перемещений U и V. Показать графически(на
миллиметровке) перемещение пластины в результате деформирования,
определив компоненты перемещений U и V в девяти точках, указанных на
схеме. Для наглядности изображения для перемещений выбрать более крупный
масштаб, чем масштаб длин. Значение U и V свести в таблицу.
Расчет.
Дано: а3=1/3, а4= 1
Е=0,69*106 кг/см2
(=0,33
Решение:
1.Проверим, удовлетворяет ли функция напряжений бигармоническому
уравнению.
Поскольку производные
-бигармоническое уравнение удовлетворяется.
2.Определяем компоненты по формулам Эри, принимая объемные силы равными
нулю.
3.Строим эпюры напряжений для контура пластины согласно полученным
аналитическим напряжениям.
4.Проверяем равновесие пластины
Уравненения равновесия:
(х=0 -Т5+Т6=0 > 0=0
(y=0 Т4+Т3+Т2-Т1-N2+N1=0 > 0=0
(M=0 M (T4T3)=-M(T2T1) > 0=0
удовлетворяется, т.е. пластина находится в равновесии.
5.Для точки А с координатами (5,-5) найти величины главных напряжений и
положение главных осей для точки А.
В этой точке напряжения в основных площадках. (х=0, (у=-1,33,
(ху=3,33,
Найдем главное напряжение по формуле:
(max=(I=2,731 МПа
(min=(II= -4,061 МПа
Находим направление главных осей.
(I=39,36o
(II=-50,64o
6.Определяем компоненты деформации
7.Находим компоненты перемещений
Интегрируем полученные выражения
((у), ((х) –некоторые функции интегрирования
или
После интегрирования получим
где с1 и с2 – постоянные интегрирования
С учетом получения выражений для ((у) и ((х) компоненты перемещений
имеет вид
Постоянные с1, с2, и с определяем из условий закрепления пластины:
Окончательные выражения для функций перемещений u и v
Покажем деформированное состояние пластины определив для этого
перемещение в 9-ти точках.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
координаты Х(см) -10 0 10 10 10 0 -10 -10 0
У(см) 10 10 10 0 -10 -10 -10 0 0
V*10-4 3,8 0,77 0,58 -0,19 0 0,19 3,2 3,1 0
U*10-4 -3,1 -3,5 -3,9 -1,9 0 -0,23 -0,45 -1,8 -1,9
Масштаб
длин: в 1см – 2см
перемещений: в 1см – 1*10-4см
PAGE
PAGE 3
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
