Реферат на тему:
Принцип максимума і оптимальне керування динамічною системою В.
Леонтьєва
Pозглядається відкрита динамічна система ( модель) В. Леонтьєва стан
якої в кожен момент часу t визначається n-
вимірним вектором
х(t)= (x1(t),x2(t),…,xn(t)), який характеризує валовий випуск економіки
з n галузями. Збалансована система динамічних рівняннь “витрат-випуску”
В. Леонтьєва має вигляд
[ d o ( t) / d t ) ] = o ( t ), (1
)
=( bij )- n ( n – матриця яка характеризує структуру основного
капіталу, основних фондів; y (t)- вектор кінцевого попиту ( вектор
споживання) [1].
Динамічна модель витрат- випуску (1) може бути представлена як
система керування [2]
= Аx (t) +В u ( t ) , ( 2 )
при якому система ( 2 ) переходить із заданого початкового стану
x(t0)=x0 в заданий кінцевий (запланований) стан x(t1)=x1 за час
Т=t1-t0. При цьому випуклий функціонал – інтеграл достатку
( 3)
є множник дисконтинування, який свідчить про те, що негайне споживання
важливіше ніж в майбутньому, W(u(t))- функція корисності [ 3 ].
Таким чином, керована динамічна система В. Леонтьєва дозволяє дати
прогноз розвитку всіх галузей економіки так, щоб за певний період часу
досягти заданого рівня їх росту.
Покладемо
( 4 )
-деякі задані додатні числа.
загального вигляду
, ( 5 )
i=1,…,n.
вектор початкових умов.
i=1,…,n,то вона набуває вигляду (5) з правими частинами
.
( 6 )
При цьому споживання у(t)=u(t) невід’ємне і не перевищує випуск.
Розглянемо функціонал
( 7 )
– множники Лагранжа, які визначаються граничними умовами на правому
кінці фазової траекторії.
-допоміжні змінні що задовільняють систему рівняннь
i=1,2,…,n+1, ( 8 )
та граничним умовам
, і=1, 2,…, n+1, ( 9 )
.
Функція Гамільтона- Понтрягіна має вигляд
( 10)
Пряму та спряжену систему можна записати як
. (11 )
Оптимальне керування знаходиться з умови
1- деякий коофіцієнт пропорційності .
,i=1,2,…n,
( 12 )
, і=1,…, n.
таким чином, щоб основна змінна за час T =t1 –t0 перейшла з стану
y(t0)=y0 в стан y(t1)=y1 в силу рівняннь (12 ).
Література
В. Леонтьев “ Исследование структуры американской економики.
Теоретический и эмпирический анализ по схеме затраты- выпуск”,
Москва. Госстатиздат, 1938.
А. В. Виноградська, В.В. Рішина “ Керування спектром динамічнї системи
витрат- випуску моделі В. Леонтьєва” . Вісник
Київського університету, №2, 1999.
О. І. Пономаренко, М. О. Перестюк, В.М. Бурим “ Основи математичної
економіки”, Київ. “ Інформтехніка” , 1995.
4. .Э. Б. Ли, Л. Маркус.“ Основы теории оптимального управления”,
Москва. “Наука”, 1972.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter