Співвідношення МГЕ для стержнів зі змінною геометрією
Випадок геометрії, що змінюється, стержнів приводить до диференціальних
рівнянь зі змінними коефіцієнтами (східчасті стержні, стержні з
безупинно мінливими по довжині перетинами, криволінійні стержні зі
змінними радіусами кривизни, а також стержні, що змінюються по довжині
масою, що стискає силою, коефіцієнтом постелі й т.п.). Теорія побудови
розв’язків таких рівнянь приводить до псевдодиференціальних рівнянь і
складних фундаментальних функцій. Відомі буквально лічені випадки в
механіці й інших науках, коли вдавалося побудувати фундаментальні
розв’язки для диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами. У
публікаціях на цю тему намітився інший підхід, коли об’єкт із
розподіленими параметрами замінявся об’єктом з кусочно-постійними
параметрами (рис. 2.36). У цьому випадку всі щаблі описуються
диференціальними рівняннями з постійними коефіцієнтами, розв’язок яких
завжди можна одержати. При достатній кількості щаблів розв’язок для
дискретизированого в такий спосіб стержня буде мало відрізнятися від
розв’язку для стержня з розподіленими параметрами. Ця проста ідея досить
довго не могла бути реалізована через відсутність відповідного методу
розрахунку. Метод початкових параметрів (МПП), методи сил і переміщень,
МКЕ й інші методи приводять алгоритм розрахунку до добутків матриць
фундаментальних функцій, що при великій кількості щаблів істотно
погіршує точність результатів внаслідок непереборних погрішностей
округлення. Пропонований аналітичний варіант МГЕ вільний від цього
недоліку.
для східчастого об’єкта формується за допомогою операції
квазідіагоналізації (матричного підсумовування), а її більша
розрідженість по визначенню виключає нагромадження погрішностей. Тому в
даному варіанті МГЕ можна розбивати об’єкт на велику кількість щаблів
(1000 і більше), при цьому виключаються недоліки існуючих методів, а
результати будуть прямувати до точних значень.
.
Рис. 2.36 Рис. 2.37
Розглянемо стержень кусочно-постійної жорсткості (рис. 2.37). Такий
стержень має два проміжних вузли. Рівняння рівноваги й спільності
переміщень вузлів приводять до рівностей для кінематичних і статичних
параметрів (на прикладі поперечного вигину).
(2.39)
Рівняння МГЕ (1.40) при граничних значеннях х = li для щаблів приймають
вигляду
(2.40)
З рівності (2.39) випливає, що
.
, то одержимо рівняння методу початкових параметрів для східчастого
стержня
. (2.41)
Тут матриця граничних значень фундаментальних функцій визначається у
вигляді добутку
, (2.42)
а матриця навантаження у вигляді суми добутків
щаблів, приходимо до рекурентних співвідношень методу початкових
параметрів.
всіх щаблів
, (2.44)
де нижній індекс позначає номер щабля стержня.
Матриця навантаження обчислюється як сума добутків
, (2.45)
де
– одинична матриця. Варто враховувати, що рівності (2.39) можливі при
відсутності жорсткостей, які потрібно включити в матриці фундаментальних
функцій і навантаження (на прикладі поперечних коливань).
(2.47)
Рівняння (2.41) можна записати для багатоступінчастого стержня
всіх щаблів або матриці (2.44), (2.45) у сполученні з матрицями щаблів
постійної жорсткості. В останньому випадку порядок загального матричного
рівняння зменшується. Відповідний приклад розглянутий у наступному
параграфі.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
