Стійка й нестійка пружна рівновага. Формула Ейлера для визначення
критичної сили стислого стрижня
Стійка і нестійка пружна рівновага
Проводячи розрахунки на міцність і жорсткість при різних деформаціях, ми
думали, що під час деформації будь-якої системи має місце єдина
заздалегідь відома форма рівноваги. У дійсності ж в деформованому стані
рівновага між зовнішніми і викликуваними ними внутрішніми силами
пружності може бути не тільки стійким, але й нестійким
Пружна рівновага буде стійою, якщо деформоване тіло при будь-якому
малому відхиленні від стану рівноваги прагне вернутися до первісного
стану й вертається до нього після видалення зовнішнього впливу, що
порушив первісний рівноважний стан. Пружна рівновага хитлива, якщо
деформоване тіло, будучи виведено з нього яким-небудь впливом, здобуває
прагнення продовжувати деформуватися в напрямку даного йому відхилення і
після видалення впливу у вихідний стан не вертається. Між цими двома
станами рівноваги існує перехідний стан, який називається критичним і
при якому деформоване тіло перебуває в байдужій рівновазі: воно може
зберегти спочатку додану йому форму, але може й втратити її від самого
незначного впливу.
Стійкість форми рівноваги деформованого тіла залежить від величини
прикладених до нього навантажень. Наприклад, якщо сили, що стискають
стрижень, невеликі, то первісна форма рівноваги залишається стійкої
(рис. 14.1,а). При зростанні величин прикладених сил досягається стан
байдужої рівноваги, при якому поряд із прямолінійною формою стрижня
можливі суміжні з нею злегка скривлені форми рівноваги (штрихові лінії
на рис. 14.1,б). При подальшому самому незначному збільшенні
навантаження характер деформації стрижня різко міняється – стрижень
випучує (рис. 14.1,в), прямолінійна форма рівноваги перестає бути
стійкою. Це означає, що навантаження перевищили критичне значення.
а б в
Рис. 14.1. Втрата стійкості стиснутого стрижня
.
Можна затверджувати, що досягнення навантаженнями критичних значень
рівносильно руйнуванню конструкції, так як нестійка форма рівноваги
неминуче буде втрачена, що пов’язано із практично необмеженим ростом
деформацій і напружень. Особлива небезпека руйнування внаслідок втрати
стійкості полягає в тім, що звичайно вона відбувається раптово й при
низьких значеннях напружень, коли міцність елемента ще далеко не
вичерпана.
До моменту настання критичного стану пружної деформації по величині
досить незначне й наростання їх відбувається майже непомітно для ока.
Але з моменту настання критичного стану до моменту руйнування залишкові
деформації наростають вкрай швидко, і практично немає часу вжити заходів
по запобіганню катастрофи, що загрожує. Таким чином, при розрахунку на
стійкість критичне навантаження подібне руйнуючому при розрахунку на
міцність. Для забезпечення певного запасу стійкості необхідно, щоб
задовольнялася умова
. (14.1)
Тут
— діюче навантаження;
— коефіцієнт запасу стійкості.
.
Із усього різноманіття розрахунків на стійкість пружних систем докладно
розглянемо лише випадок втрати стійкості при стисканні довгого тонкого
стрижня, або так званий поздовжній згин.
Формула Ейлера для визначення критичної сили стиснутого стрижня
?
?
E
Oe
?
¬
?
???????????????, стрижень із шарнірно закріпленими кінцями (рис. 14.2,а)
злегка зігнувся (рис. 14.2,б).
а б
Рис. 14.2. До визначення критичної сили стиснутого стрижня
.
не викликає в стрижні напружень, що перевищують границю пропорційності,
і що розглядаються тільки малі відхилення від прямолінійної форми. Тоді
для визначення критичної сили можна скористатися наближеним
диференціальним рівнянням пружної лінії:
— найменший момент інерції перетину стрижня.
, так як очевидно, що прогин відбудеться перпендикулярно до осі
найменшої жорсткості, якщо решта умов для згину у всіх площинах
однакові, як у розглянутому випадку.
На відміну від поперечного вигину при поздовжньому в правій частині
цього рівняння варто ставити знак «мінус», так як абсолютна величина
згинального моменту
.
Підставивши в рівняння (14.3) вираз (14.4) для згинального моменту,
одержимо
, (14.5)
або
(14.6)
Увівши позначення
(14.7)
перепишемо рівняння (14.6) так:
(14.8)
Ми одержали однорідне лінійне диференціальне рівняння, загальний
інтеграл якого, як відомо, представляється гармонійною функцією
повинні бути підібрані так, щоб задовольняти граничним умовам
, тобто
(14.10)
Із другої умови одержуємо
, то прогин буде тотожно дорівнювати нулю, тобто
, те при скривленій формі стрижня повинне виконуватися рівність
, тобто
— довільне ціле число.
відпадає, тому що він не відповідає вихідним даним задачі. Таким чином,
(14.12)
Тоді з рівняння (14.7) одержимо вираз для стискаючої сили:
(14.13)
Рівняння (14.13) являє собою формулу, уперше отриману Ейлером.
:
(14.14)
Вертаючись до рівнянь (14.10) і (14.12), одержимо рівняння вигнутої осі
стрижня при малих деформаціях:
. Отже, рівняння пружної лінії стислого стрижня має вигляд
(14.15)
Графік цієї залежності показано на рис. 14.3.
.
Рис. 14.3. Пружна лінія стиснутого стрижня
, звідки
буде посередині стрижня, що відповідає так званому основному випадку,
показаному на рис. 14.2.
являє собою число напівхвиль синусоїди, що розташовуються на довжині
зігнутого стрижня.
Рис. 14.4. Різне число напівхвиль синусоїди
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
