Стійкість вільних стержнів і стержнів на жорстких і пружних опорах
Визначити першу критичну силу стержня з кусочно-постійною жорсткістю (рис. 4.1). Аналіз стійкості багатопрогонових стержнів спрощується в порівнянні із плоскими стержневими системами. Рівняння стійкості багатопрогонових стержнів не містить нормальних сил, а лінійні переміщення граничних точок стержнів рівні або нулю (для жорстких опор), або відношенню (для пружних опор), де – жорсткість пружної опори; – реакція опори. Випадок вільних стержнів (без проміжних опор) також може бути врахований у МГЕ. Розв’язання прикладу по рис. 4.1 представимо алгоритмом.
Рис. 4.1
- Розбиваємо стержень на 2 стержні, нумеруємо вузли й позначаємо початок і кінець кожного елемента.
2 Формуємо матрицю стійкості . Рівняння рівноваги й спільності переміщень вузла 1 наведені в матриці . Відповідно до матриці потрібно обнулити 3 і 4 стовпці матриці . Після переносу кінцевих параметрів з матриці в матрицю топологічна матриця прийме наступний вид. Склавши матриці й , одержимо матрицю стійкості даного стержня.
| 1 | Y = | 1 | |||
| 2 | 2 | ||||
| 3 | 3 | ||||
| 4 | 4 | ||||
| 5 | 5 | ||||
| 6 | 6 | ||||
| 7 | 7 | ||||
| 8 | 8 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ||
| 1 | -2/3 | ||||||||
| 2 | -2/3 | ||||||||
| 3 | -1 | ||||||||
| 4 | -1 | ||||||||
| 5 | |||||||||
| 6 | |||||||||
| 7 | -1 | ||||||||
| 8 | -1 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |||
| 1 | 1 | -2/3 | 1 | |||||||
| 2 | -2/3 | 2 | ||||||||
| 3 | -1 | 7 | ||||||||
| 4 | -1 | 8 | ||||||||
| 5 | 1 | 5 | ||||||||
| 6 | 6 | |||||||||
| 7 | -1 | 3 | ||||||||
| 8 | -1 | 1 | 4 |
Фундаментальні функції визначаються виразами (4.5), де коефіцієнти для стержнів 0-1 і 1-2 будуть рівні
.
3 Переставляючи рядки матриці в новому порядку, як показано цифрами праворуч, методом Гауса по програмі прикладу 3.6 обчислюємо її визначник (при ). Фіксуючи зміну його знака, знаходимо, що . Це значення збігається із критичною силою, отриманою методом початкових параметрів [307].
Приклад 4.2 [274, с.266]. Визначити 2 критичні сили багатопрогонового стержня на жорстких опорах (рис. 4.2)
Рис. 4.2
- Розбиваємо багатопрогоновий стержень на 3 стержні, нумеруємо вузли й стрілками позначаємо початок і кінець кожного елемента.
- Формуємо матрицю стійкості . Рівняння рівноваги й спільності переміщень вузлів 1 і 2 знаходяться в матриці . З матриці випливає, що в матриці потрібно обнулити 1, 2, 5 і 9 стовпці. Коефіцієнти фундаментальних функцій будуть рівні
| 1 | 1 | ||||
| 2 | 2 | ||||
| 3 | 3 | ||||
| 4 | 4 | ||||
| 5 | 5 | ||||
| 6 | 6 | ||||
| 7 | 7 | ||||
| 8 | 8 | ||||
| 9 | 9 | ||||
| 10 | 10 | ||||
| 11 | 11 | ||||
| 12 | 12 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ||
| 1 | |||||||||||||
| 2 | -2 | ||||||||||||
| 3 | -1 | ||||||||||||
| 4 | -1 | ||||||||||||
| 5 | |||||||||||||
| 6 | -6 | ||||||||||||
| 7 | -1 | ||||||||||||
| 8 | -1 | ||||||||||||
| 9 | |||||||||||||
| 10 | -1 | ||||||||||||
| 11 | |||||||||||||
| 12 | -1 |
Матриця стержня прийме вид
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |||
| 1 | 3 | |||||||||||||
| 2 | -2 | 6 | ||||||||||||
| 3 | -1 | 4 | ||||||||||||
| 4 | -1 | 1 | 1 | |||||||||||
| 5 | 7 | |||||||||||||
| 6 | -6 | 10 | ||||||||||||
| 7 | -1 | 8 | ||||||||||||
| 8 | -1 | 1 | 2 | |||||||||||
| 9 | 12 | |||||||||||||
| 10 | -1 | 5 | ||||||||||||
| 11 | 11 | |||||||||||||
| 12 | -1 | 1 | 9 |
- Помінявши місцями рядки, як показано цифрами праворуч, методом Гауса визначимо 2 критичні сили: . Дані критичні сили практично рівні дійсним критичним силам, оскільки не враховувалася тільки деформація зрушення, а накладені зв’язки не перешкоджають появі вигинаючих форм. Розбіжність із , отриманої методом С.А. Рогицького, становить 30%.
Приклад 4.3 [274, с.271]. Знайти 3 критичні сили нерозрізного стержня на пружних опорах (рис. 4.3).
Рис. 4.3
Цей приклад відрізняється від попередньою наявністю пружних опор 1 і 2, де жорсткості рівні ; . Рівняння спільності переміщень вузлів 1 і 2 запишуться в такий спосіб
| Вузол 1 | Вузол 2 |
де – невідомі реакції опор 1 і 2. Очевидно, що
.
Тоді
Обнулена в окремих стовпцях матриця буде збігатися з аналогічною матрицею прикладу 4.2. Матриці , і приймуть вигляд
| 1 | 1 | ||||
| 2 | 2 | ||||
| 3 | 3 | ||||
| 4 | 4 | ||||
| 5 | 5 | ||||
| 6 | 6 | ||||
| 7 | 7 | ||||
| 8 | 8 | ||||
| 9 | 9 | ||||
| 10 | 10 | ||||
| 11 | 11 | ||||
| 12 | 12 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ||
| 1 | |||||||||||||
| 2 | -2 | ||||||||||||
| 3 | -1 | ||||||||||||
| 4 | -1 | ||||||||||||
| 5 | |||||||||||||
| 6 | -6 | ||||||||||||
| 7 | -1 | ||||||||||||
| 8 | -1 | ||||||||||||
| 9 | |||||||||||||
| 10 | -1 | ||||||||||||
| 11 | |||||||||||||
| 12 | -1 |
Складаючи цю матрицю з обнуленою матрицею , одержуємо матрицю стійкості нерозрізного стержня на пружних опорах
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |||
| 1 | 3 | |||||||||||||
| 2 | -2 | 6 | ||||||||||||
| 3 | -1 | 4 | ||||||||||||
| 4 | -1 | 1 | 1 | |||||||||||
| 5 | 7 | |||||||||||||
| 6 | -6 | 10 | ||||||||||||
| 7 | -1 | 8 | ||||||||||||
| 8 | -1 | 1 | 2 | |||||||||||
| 9 | 12 | |||||||||||||
| 10 | -1 | 5 | ||||||||||||
| 11 | 11 | |||||||||||||
| 12 | -1 | 1 | 9 |
Переставивши рядки матриці й застосувавши метод Гауса, знаходимо
Перша критична сила по методу С.А. Рогицького відрізняється на 34,6%.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
