Стрижень, навантажений бімоментом
Стержень, навантажений бімоментом
Перепишемо рівняння (9.24) у такий спосіб:
(9.25)
Тут
Рівняння (9.25) аналогічно рівнянню вигину при наявності поздовжньої
сили. Загальний інтеграл його запишеться так:
.
прагнула до нуля в міру зростання z, одержимо
Тому
, одержимо
(9.27)
Ми встановили закон загасання бимомента в міру видалення від торця. Якщо
до стрижня не прикладені згинальні моменти, то в кожному перетині діють
нормальні напруження
загасаючі за експонентним законом залежно від координати z. Щоб створити
такий напружений стан, до торця потрібно прикласти сили, розподілені за
законом секторіальних площ:
на одиницю площі перетину. При вивченні вигину нас не цікавить
конкретний спосіб здійснення навантаження: напруження на деякій відстані
від перетину розподіляються за законом площини. Це можна пояснити в
такий спосіб. Розглянемо систему трьох функцій:
. Це значить, що
за допомогою лінійної комбінації цих трьох функцій:
, одержимо
D
?????.? ae e o u (¬
°
?
3/4
a
a
e
i
??*????????????H?H?????3/4
частина навантаження, що дається першими трьома членами формули (9.28),
передається як завгодно далеко по стрижню, не загасаючи. Статично
врівноважена частина навантаження загасає досить швидко, і з нею на
деякій відстані від торця може вже не враховуваться.
У теорії тонкостінних стрижнів до уведених функцій додається четверта,
ортогональна до них функція, а саме . Ортогональність забезпечується
виконанням умов (9.14), (9.15):
Визначивши деяку повну систему функцій від , можемо представити
розкладанням по цих функціях. У теорії вигину тонкостінних стрижнів
становлять інтерес тільки чотири функції: Навантаження може бути
апроксимоване в такий спосіб:
Множачи обидві частини цієї рівності на і інтегруючи, одержимо
(9.29)
Особливо потрібно зупинитися на тому випадку, коли до торця прикладені
зосереджені сили. Інтеграл вироджується при цьому в кінцеву суму:
(9.30)
Виберемо довільний полюс ІЗ (рис.9.18) і будемо визначати бімомент по
формулі (9.30).
Рис.9.18. До визначення бімомента
Прийнявши точку 1 за початок відліку секторіальної площі, позначимо
площі заштрихованих трикутників . Тоді
у точці 1
у точці 2
у точці 3
у точці 4
У точках 1, 2, 3, 4 прикладені сили причому й рівні а й рівні
По формулі (9.30) одержимо
Але, як видно із креслення,
Таким чином,
(9.31)
Цей, результат збігається з визначенням бімомента, даним вище. Формула
(9.27) вирішує поставлену задачу, причому істото справи потрібно уявити
собі в такий спосіб. У перетині, досить близькому до торця, що вирішує
роль грають місцеві напруження від прикладених сил, але вже на деякому,
порівняно невеликому (порядку поперечного розміру) відстані від торця
вони стають розподіленими за законом секторіальних площ. У цьому випадку
це те ж, що закон плоских перетинів для кожної полиці окремо. У міру
видалення перетину від торця ці нормальні напруження загасають за
законом (9.27). Крім цього, у перетинах виникають також дотичні
напруження двох пологів. З одного боку, це гнучко-крутильні напруження,
які можна знайти по формулі (9.17). Тому що на кожній полиці залежить
лінійно від координати у, те очевидно, що ці напруження існують тільки в
полках і розподіляються за законом параболи. Крім того, у перетині
виникають звичайні напруження крутіння.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
