Розрахунок рами методом сил з урахуванням симетрії
Тепер розглянемо приклади, що ілюструють різні способи використання
симетрії.
Приклад. Побудувати епюри Nz, Qy і Mx для симетричної рами, завантаженою
несиметричним зовнішнім навантаженням (мал.6.11,а).
Записана формально, без використання симетрії, система канонічних
рівнянь методу сил має вигляд
З багатьох можливих варіантів вибору основної системи найбільш
доцільним, що максимально спрощує розрахунок, є варіант, представлений
на мал.6.11,б, отриманий шляхом розрізування кожного з ригелів
посередині прольоту. Тому що розріз стержня приводить до появи трьох
невідомих факторів (двох сил і моменту), то еквівалентна система
(мал.6.11,в) буде складатися з двох жорстко затиснених рам, одна з яких
завантажена тільки невідомими реакціями, а інша — такими ж невідомими
реакціями і зовнішнім навантаженням.
Зазначений вибір основної системи дозволяє не тільки одержати прості
одиничні епюри (мал.6.11,г-і), але, що особливо важливо, при цьому цілий
ряд побічних коефіцієнтів системи канонічних рівнянь звертається в нуль.
Це ті коефіцієнти, що виходять шляхом перемножування симетричної і
кососиметричної епюр:
В силу теореми про взаємність переміщень число нульових коефіцієнтів
подвоюється. У результаті формально записана система канонічних рівнянь
розпадається на дві самостійні систем:
Обчислення коефіцієнтів цих систем рівнянь (з обов’язковим обліком
співвідношення жорсткостей елементів) приводить до наступних
результатів:
ж з і
Рис.6.11. Використання симетрії (до прикладу 6.4)
від одночасної дії шести одиничних факторів (мал.6.12,б).
:
Виконуємо перевірку:
отже, коефіцієнти і вільні члени систем канонічних рівнянь обчислені
правильно.
г д е
Рис.6.12. Остаточні епюри (до прикладу 6.4)
Підставляючи обчислені значення переміщень, одержимо системи канонічних
рівнянь I і II у вигляді:
Розв’язання систем I і II дає значення реакцій зайвих зв’язків:
Остаточні епюри Nz, Qy, Mx, побудовані від одночасної дії обчислених
реакцій і зовнішнього навантаження q (мал.6.12,в) показані на
мал.6.12,м,д,е.
Приклад. Побудувати епюри Nz, Qy, Mx у симетричній рамі (мал.6.13,а).
??
|
?
Рама має два замкнутих безшарнірних контури, тому вона шість разів
статично невизначена. При звичайному підході в цьому випадку було б
необхідно вирішити систему шести лінійних рівнянь, тобто розрахунок був
би досить трудомістким. Використання симетрії, як це буде показано
нижче, дозволить звести задачу до розв’язання тільки лише двох лінійних
рівнянь.
Виберемо основну систему, розрізаючи кожний з ригелів посередині
прольоту (мал.6.13,б). Але, на відміну від попереднього прикладу,
сформуємо дві еквівалентні системи, одну з яких завантажимо симетричними
складовими зовнішнього навантаження (мал.6.13,в), а іншу — зворотно
симетричними складовими (мал.6.13,г). Легко переконатися в тому, що сума
зовнішніх навантажень, прикладених до обох еквівалентних систем,
дорівнює зовнішньому навантаженню, прикладеному до заданої рами.
При дії симетричних самоурівноважених сил і (мал.6.13,в), прикладених
у вузлах, в елементах рами відсутні згинальні моменти і поперечні сили,
а повздовжні сили виникають тільки в ригелях і обчислюються
безпосередньо з умов рівноваги вузлів 3 і 5, або, що те ж саме, 4 і 6:
При дії зворотньосиметричних сил і (мал.6.13,г) у розрізах, зроблених
по осі симетрії рами, виникають зворотньосиметричні невідомі поперечні
сили Х1, Х2, а повздовжні сили і згинальні моменти звертаються в нуль
як симетричні зусилля при зворотньосиметричному навантажені.
Таким чином, для розрахунку рами потрібно скласти тільки два канонічних
рівняння методу сил:
Одиничні і вантажна епюра згинальних моментів показані на
мал.6.13,д,е,ж. Обчислимо коефіцієнти канонічних рівнянь шляхом
перемноження відповідний епюр за правилом Верещагіна:
Одиничні і вантажна епюра згинальних моментів показані на
мал.6.13,д,е,ж.
а б в
г д е
ж з і
к л м
Рис.6.13. До прикладу 6.5
Для перевірки обчислених переміщень використовуємо сумарну одиничну
епюру згинальних моментів (мал.6.13,з).
Перевірка:
Після підстановки знайдених значень коефіцієнтів при невідомих і вільних
членів у канонічні рівняння і множення останніх на EI одержимо
звідси
Таким чином, у результаті розкриття статичної невизначеності вихідна,
шість разів статично невизначена система приведена до статично визначної
системи (мал.6.13,і), завантаженої зовнішнім навантаженням F1 і F2,
повздовжніми зусиллями N34 і N56, а також обчисленими реакціями X1 і X2.
Епюри повздовжніх, поперечних сил і згинальних моментів для заданої рами
показані на мал.6.13,к,л,м.
Для виконання універсальної кінематичної перевірки епюри Мх
використовуємо сумарну одиничну епюрові :
отже, задача вирішена правильно.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
