Розрахунки плоских і просторових стержневих систем. Розтягання-стискання східчастого стержня
Розглянемо розрахунки стержневих систем, елементи яких випробовують тільки стиснення-розтягання-стиск. До таких конструкцій ставляться стрижні, навантажені осьовим навантаженням, і ферми, у яких навантаження прикладене у вузлах, а самі вузли являють собою шарніри. Для розрахунку таких конструкцій досить застосувати рівняння (2.4).
Розтягання-стискання східчастого стержня
Приклад Визначити початкові й кінцеві граничні параметри східчастого статично невизначеного стержня (рис. 2.2), де
Рис. 2.2
Рішення задачі представимо алгоритмом.
- Розбиваємо стержневу систему на 3 стержні, нумеруємо вузли й стрілками вказуємо початок і кінець кожного стержня.
- Формуємо матриці , , , і систему розв’язних рівнянь
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |||||||||||
| 1 | 1 | 3 | 1 | 1 | 1 | 45 | ||||||||||
| 2 | 1 | 2 | 2 | 2 | 30 | |||||||||||
| 3 | 1 | 4 | 3 | 3 | 3 | 0 | ||||||||||
| 4 | 1 | 4 | 4 | 4 | 120 | |||||||||||
| 5 | 1 | 3 | 5 | 5 | 5 | -150 | ||||||||||
| 6 | 1 | 6 | 6 | 6 | -150 |
Рис. 2.3
При заповненні матриці враховано, що м; м; м. Елементи матриці обчислюються по виразах (2.5), якщо підставити значення кН; кН; кН/м; м. У матрицях , враховані умови обпирання, так що перший рядок матриці містить нульовий параметр. Відповідно, необхідно обнулити перший стовпець матриці . Для виконання ланцюжка перетворень (1.46) складаємо рівняння рівноваги й спільності переміщень вузлів 1 і 2 (рис. 2.3).
Рівняння рівноваги й спільності переміщень вузлів зручно поміщати в матриці , . Аналіз цих матриць дозволяє одержати топологічну матрицю системи.
| 1 | ; | ; | 1 | ||
| 2 | 2 | ||||
| 3 | 3 | ||||
| 4 | 4 | ||||
| 5 | 5 | ||||
| 6 | 6 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||
| 1 | |||||||
| 2 | -1 | ||||||
| 3 | |||||||
| 4 | -1 | ||||||
| 5 | |||||||
| 6 | -1 |
Незалежний параметр переносимо в 1-ю рядок матриці . Як компенсація в матриці з’явиться ненульовий елемент , де – стара адреса, – нова адреса переносимого параметра. Аналогічно переносяться залежні параметри. Склавши матриці й , одержуємо матрицю . Система рівнянь (1.46) даного приклада запишеться так
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||||||
| 1 | 3 | -2 | 45 | 3 | |||||||
| 2 | 1 | -1 | 30 | 2 | |||||||
| 3 | 1 | 4 | -2/3 | = | 0 | 4 | |||||
| 4 | 1 | -1 | 120 | 6 | |||||||
| 5 | 1 | 3 | -150 | 5 | |||||||
| 6 | -1 | 1 | -150 | 1 |
- Вирішуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь. Визначити невідомі початкові й кінцеві параметри стержня можна за допомогою зворотної матриці , але такий шлях пов’язаний з більшими витратами часу процесора. Зручніше скористатися алгоритмом методу виключення Гаусса. У зв’язку з тим, що провідний елемент , то для застосування методу Гаусса потрібно переставити рядки матриць . Один з можливих варіантів перестановки рядків показаний цифрами праворуч. Виконуючи прямій і зворотний ходи методу Гаусса, визначаємо граничні параметри, які зведені в табл. 2.1.
Таблиця 2.1
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 | ||
| 4 | ||
| 5 | ||
| 6 |
За початковими параметрами можна побудувати епюри й (рис. 2.4).
Рис. 2.4
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
