Стійкість прямокутних пластин з неоднорідними граничними умовами. Асимптотичний метод на основі теорії збурювань (реферат)

Стійкість прямокутних пластин з неоднорідними граничними умовами. Асимптотичний метод на основі теорії збурювань

Якщо прямокутна ізотропна тонка пластина стискується рівномірними силами  і хоча б одна завантажена кромка не обперта (вільна), то виникає задача стійкості з неоднорідними граничними умовами (рис. 7.11). Рівняння стійкості (6.53) зводиться до виду

Приведена поперечна сила на краю  буде дорівнювати проекції стискаючої сили (див. рис. 6.11,в)

Виникає нелінійна крайова умова при , що у теорії стійкості тонких пластин звичайно лінеаризують, тобто при малих переміщеннях

Гранична умова на вільній навантаженій кромці прийме вид

Необхідність врахування умови (6.67) істотно ускладнює розв’язок даної задачі. Перші результати із застосуванням одного члена ряду представлені в роботах академіків АН СРСР Л.С. Лейбензона [168] і А.Ю. Ішлинского [121]. Точність їх виявилася недостатньою. У роботі [149] узагальнені розвозки Лейбензона-Ішлинского в рамках асимптотичного методу. Представимо цей метод, оскільки він має важливе практичне значення.

Асимптотичний метод на основі теорії збурювань

Відповідно до рис 6.11 приведемо граничні умови:

1. На ненавантажених кромках

2. На навантажених кромках

Стискаючу силу N і прогин  розкладемо в ряд по ступенях малого параметра

а в остаточному результаті потрібно прийняти . Якщо продиференціювати (6.72) і підставити отримані похідні, а також (6.71) у рівняння стійкості (6.66) і в граничні умови (6.68)-(6.70), групуючи члени при однакових ступенях , то одержуємо наступну рекурентну послідовність:

нульове наближення

Рівняння (6.73)-(6.76) і є рівняннями методу Лейбензона-Ішлинского, тобто вони є нульовим наближенням розв’язку задачі в асимптотичній постановці.

Перше наближення

і т.д. Розв’яжемо задачу в нульовому наближенні. Розв’язок шукається відповідно до методу поділу змінних Фур’є у вигляді

де  – шукана функція, що залежить тільки від y. Вираз (6.81) задовольняє граничним умовам (6.74) – шарнірне обпирання. Підставляючи (6.81) в (6.73) одержимо звичайне диференціальне рівняння щодо функції

Інтеграл рівняння (6.82) має вигляд

і

Із граничних умов (6.75): , тоді

Підставляючи (6.84) у перше з умов (6.76), одержимо

і

Підставляючи (6.85) у другу з умов (6.76), знаходимо критичні напруження в нульовому наближенні

де

h – товщина пластинки.

Представимо розв’язок в першому наближенні. Підставляючи (6.85) в (6.77) і використовуючи

будемо мати

Виходить неоднорідна крайова задача, де права частина є розв’язком крайової задачі нульового наближення. Далі алгоритм повторюється при різкому зростанні громіздкості розв’язку. Таким чином, можна представити розв’язок задачі у вигляді ряду по малому параметрі для коефіцієнта H

На жаль, даний ряд методу збурювань може сходитися повільно або розходитися. Для поліпшення збіжності ряду можна використовувати метод Паде-апроксимації, тобто метод дріб-раціонального перетворення ряду теорії збурювань

У табл. 6.7 наведені результати асимптотичного методу, які виявилися практично рівними еталонним результатам.

З викладеного випливає, що задача стійкості тонкої пластини з неоднорідними граничними умовами може бути точно вирішена при умовах:

1. Використанні методу поділу змінних Фур’є у вигляді (6.81), (6.87);
2. Формуванні послідовності крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (6.82), (6.88) і т.д.;
3. Застосуванні методу малого параметра у вигляді (6.71), (7.72);
4. Використанні Паде-апроксимації.

Очевидно, що якщо умови обпирання пластини на кромках у напрямку осі Оу будуть відмінні від шарнірних, то розв’язання даної задачі істотно ускладниться. Тому через ці причини в довідкових даних робіт [ 47-49, 71, 262, 299, 300, 316 і ін.] наведений розв’язок тільки розглянутої задачі. Представимо розв’язання даної задачі по МГЕ й покажемо, що можна порівняно просто врахувати різні крайові умови й істотно спростити алгоритм розв’язку, а також урахувати на вільних кромках зосереджені стискаючі сили. Розв’язки останніх задач відсутні в літературі.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter