Розрахунок циліндричних оболонок по напівбезмоментній теорії при відсутності поверхневого навантаження (реферат)

Розрахунок циліндричних оболонок по напівбезмоментній теорії при відсутності поверхневого навантаження

При навантажені циліндричної оболонки силами, прикладеними по торцях або в деякому проміжному перетині, що становить поверхневе навантаження  дорівнюють нулю. У цьому випадку  і рівняння (13.206) переходить в однорідне:

Задане навантаження безпосередньо в рівняння не входять, а враховується тільки в граничних умовах або в умовах сполучення ділянок.

Обмежимося випадком, коли навантаження й деформація оболонки симетричні щодо площини  = 0. Тоді рішення рівняння (13.209) варто шукати у вигляді ряду синусів (при симетричній деформації функція  назад симетрична)

де  — функція тільки від .

Підставимо ряд (13.210) у рівняння (13.209):

Це рівняння розпадається на нескінченне число звичайних диференційних рівнянь виду

де

або для оболонки з однорідного матеріалу без ребер

Рівняння (13.211) аналогічно рівнянню згину балки на пружній основі або рівнянню осесиметричної деформації тонкостінної циліндричної оболонки.

Інтеграл рівняння (13.211) може бути представлений у наступному виді:

де

або у функціях А. Н. Крилова:

Постійні інтегрування  визначають у кожному окремому випадку по граничних умовах на торцях. Для досить довгих оболонок, що задовольняють умові

рішення доцільно представити у вигляді

Значення функцій, що входять у рівняння (13.218), дані в табл. 13.1. Постійні інтегрування  й  знаходять по граничних умовах при .

При визначенні функції  для оболонок середньої довжини при малих значеннях  необхідно користуватися формулами (13.214) і (13.216) із чотирма постійними інтегрування, а при більших значеннях  можна користуватися більш простою формулою (13.218) із двома постійними інтегрування.

Варто звернути увагу на те, що при  параметр , обумовлений по формулі (13.212), звертається в нуль і рівняння (13.211) спрощується:

Рівняння (13.219) являє собою диференціальне рівняння пружної лінії циліндра з недеформівним поперечним перерізом.

Інтеграл цього рівняння виражається через статечні функції

де   — постійні інтегрування.

Зупинимося більш докладно на питанні про граничні умови. Граничні умови можуть бути геометричні або силові. Геометричні умови повинні бути накладені на зсуви  й , а силові — на зусилля  й  на торці.

Іноді, однак, замість дотичного зсуву  на торці може бути задане радіальний зсув , а замість дотичної сили, що  зрушує, – радіальне  навантаження .

У цьому випадку по радіальному переміщенню  варто знайти дотичне переміщення , а по радіальному навантаженню  — еквівалентне дотичне зусилля .

Радіальне переміщення  повинно бути задане так, щоб задовольнялася умова нерозтяжності оболонки в окружному напрямку. При дотриманні цієї умови переміщення  й  зв’язані залежністю (13.192), з якої виходить:

Для перетворення радіального навантаження  (рис. 13.58, а) в еквівалентне дотичне навантаження  відітнемо від оболонки вузьке кільце (рис. 13.58, б).

Рис. 13.58. До перетворення радіального навантаження

Деформація нерозтяжного кільця повинна задовольняти диференціальному рівнянню (9.52). Розглядаючи праву частину цього рівняння, можна помітити, що деформація кільця не зміниться, якщо радіальне навантаження  замінити дотичним навантаженням

Навантаження , у свою чергу, варто дорівняти , тобто силі, що зрушує, на краю оболонки. Таким чином,

Рівняння (13.222) використовується для перетворення радіального навантаження в дотичне.

Якщо, наприклад, навантаження  буде задане у вигляді ряду

то еквівалентне їй дотичне навантаження буде

Відзначимо, що постійні інтегрування у виразі (13.216) пропорційні чотирьом початковим параметрам: , , , .

Залежності між постійними інтегрування і початкових параметрів неважко одержати на підставі рівностей (13.197), (13.201), (13.204) і (13.216) з урахуванням властивостей функцій Крилова:

Приклад. Оболонка навантажена двома осьовими силами Р, прикладеними діаметрально протилежно на верхньому торці, і рівномірним навантаженням   —  на нижньому торці (рис. 13.59, а).

Рис. 13.59. До прикладу 13.20

Розкладемо навантаження, що діє на верхній торець, у ряд Фур’є:

У цьому випадку варто взяти тільки парні значення , тому що навантаження симетричне також  щодо  площини   = 90°.

Перший доданок відповідає рівномірного складового навантаження, що разом з навантаженням, прикладеної до нижнього торця, викликає рівномірне стискання  циліндра  (рис. 13.59, б).

Другий і наступний члени ряду (при = 2, 4, 6,…) відповідають із навантаженням виду

прикладеним до верхнього торця (рис. 13.59, а). Так як навантаження симетричне щодо площини  = 0 і оболонка коротка  то вираз функцій  і  варто взяти по формулах (13.210) і (13.216), Запишемо рівняння граничних умов:

при   ;

при

У цьому випадку всі чотири умови – силові. Згідно із цими умовами, на підставі рівнянь (13.201), (13.204) і (13.224)

де  — параметр, обумовлений по формулі (13.213). Через  позначена величина

Обчисливши , при = 2, 4, 6, …, неважко по формулі (13.220) знайти значення функції  й по формулах (13.201) – (13.205) – значення внутрішніх зусиль.

Варто помітити, що в точках додатка зосереджених сил ряди розходяться, і осьове зусилля  звертається в нескінченність. У дійсності ж це зусилля звичайно, так як сили Р фактично прикладені не в точці, а розподілені по деякій дузі.

Приклад. Досліджувати деформації й напруження в циліндричній оболонці, нижній край якої жорстко закріплений так, що  й  (рис. 13.60). До верхнього торця прикладено радіальне навантаження, розподілене відповідно до закону:

При

при

Навантаження  вважається позитивним, якщо воно спрямовано від центра.

Рис. 13.60. До прикладу 13.21

Рішення.

Представимо навантаження у вигляді ряду

Для визначення  проынтегрируэмо праву й ліву частини рівності від 0 до 360°:

звідки

Для визначення  помножимо праву й ліву частини рівності на  і також проінтегрируємо від 0 до 360°:

При

звідки

При

звідки

Таким чином, для заданого навантаження одержуємо наступний ряд:

Перший член ряду відповідає рівномірно розподіленому радіальному навантаженню. Деформації і напруження від цієї складової обчислюють по формулах теорії осесиметричної деформацій циліндричних оболонок. Ці напруження і деформації порівняно малі і при видаленні від верхнього краю швидко загасають.

Знайдемо деформації й напруження від складової навантаження, що відповідають іншим членам ряду.

Так як радіальні сили, прикладені до торця, не можуть бути враховані в граничних умовах безпосередньо, їх потрібно замінити еквівалентними силами, що зрушують, певними по (13.223):

Позитивний напрямок зусилля  протилежний позитивному напрямку відліку кута .

Розглянемо складову навантаження, що відповідає  = 1. Параметр  у цьому випадку дорівнює нулю і рішенням диференціального рівняння, відповідно до рівності (13.220), буде вираз

Для визначення постійних використовуємо граничні умови:

при

при

Ці умови з урахуванням залежностей (13.201), (13.204), (13.197) приводять до системи рівнянь, рішення якої дає:

Отже,

Неважко перевірити, що функція  точно відповідає рівнянню вигнутої осі оболонки як консольної балки з недеформівним поперечним перерізом, навантаженим поперечною силою  рівного рівнодіючого заданого розподіленого навантаження.

Знайдемо функцію , що відповідає  складового навантаження. Задамося розмірами оболонки: .. Для декількох значень  обчислимо параметри  й . Результати обчислень наступні:

Так як при = 2 і = 4,  < 3, то для обчислення  варто застосовувати формулу (13.216) із чотирма постійними інтегрування. При = 6 і  = 8,  > 3 і можна застосувати більш просту формулу (13.218); однак для однаковості будемо користуватися формулою (13.216) при всіх значеннях .

Вибравши початок координат на верхньому краї оболонки, запишемо рівняння граничних умов:

при

при

На підставі цих умов з урахуванням залежностей (13.197), (13.201), (13.204), (13.220) і (13.216):

Замінивши функції Крилова їх виразами, після нескладних перетворень одержимо

Радіальне переміщення  на верхньому торці відповідно до формули (13.196):

Осьове зусилля  в нижнього торця відповідно до формули (13.201):

Результати обчислень  і  при декількох значеннях  наступні:

За отриманим даними побудовані епюри переміщення  при  й зусилля  при  (мал. 13.61).

Рис. 13.61. Епюри переміщення  й зусилля

При побудові епюри  переміщення, що відповідає осесиметричній складового навантаження, не враховувалася.

Отримані результати показують, що перекручування форми окружності біля верхнього торця значне. Напруження в небезпечній точці в затисненні в 2,15 рази більше знайденого по елементарній теорії згинання бруса (значення переміщення і осьового посилення, обчислені без обліку перекручування форми поперечного переріза, зазначені в дужках).

Приклад. Циліндрична оболонка, нерухомо закріплена по нижньому краї, посилена по верхньому краю пружним кільцем (рис. 13.62). Обчислити деформації оболонки й кільця, що виникають при навантаженні радіальною силою Р = 1000 Н, прикладеної до кільця. Дано:  матеріал оболонки і кільця — дюралюміній;

Рішення.

Подібна задача була розглянута в розділі 9 (приклад 9.6). При рішенні передбачалося, що кільце абсолютно жорстке і що напружений стан оболонки – безмоментний.

Вирішимо цю задачу з урахуванням деформації кільця, причому, для порівняння визначимо деформації оболонки як за полубезмоментній теорії, так і по безмоментній теорії. Спочатку розглянемо перший варіант рішення.

Рис. 13.62. Наприклад 13.22

Відокремивши кільце від оболонки (рис. 13.63), прикладемо в перетині силу, що  зрушує (нормальна  сила дорівнює нулю, тому що кільце не робить опору осьовим зсувам краю оболонки).

Рис. 13.63. Визначення деформації за полубезмоментною теорією

Силу Р розкладемо в ряд; у результаті одержимо еквівалентне радіальне навантаження

Складова навантаження, що відповідає першому члену ряду, викликає рівномірне розтягання кільця і осесиметричну деформацію оболонки. Цією складовою надалі зневажаємо.

Наступний член ряду ( = 1) відповідає згинальній деформації оболонки без перекручування форми її поперечного переріза, тобто без зміни форми окружності кільця. Переміщення і напруження від цієї складової визначаються так, як це було показано в прикладі 13.21, тобто фактично по формулах елементарної теорії згинання брусу. У даному прикладі

при

де  й  — момент інерції й момент опору перетину  оболонки при вигині.

Складова прогину  на верхньому торці (при  = 1) фактично буде більше обчисленої через вплив деформацій зрушення. При = 1

При заданих числових значеннях (рис. 13.62) переміщення торця за рахунок згинання  і за рахунок зрушення .

Результати обчислень показують, що зневага деформаціями зрушення при визначенні прогину приводить до істотної погрішності.

Перейдемо до обчислення переміщень і напружень, що відповідають -му складовому навантаження:

Так як довжина оболонки невелика, варто застосувати вираз функції  (13.216) із чотирма постійними інтегрування. Запишемо граничні умови на верхньому торці:

при     ,

отже, на підставі третього рівняння (13.224),

при    ( — інтенсивність -го складового сили взаємодії оболонки з кільцем).

Із другої умови на підставі четвертого рівняння (13.224)  виходить

Ще дві граничних умови задані на нижньому торці:

при    або

при     або

звідки

Замінивши функції Крилова їх виразами, після нескладних перетворень одержимо

Для визначення невідомої величини, що залишилася , необхідно використовувати рівняння спільності деформацій оболонки і кільця. Запишемо вираз функції  при  для оболонки

або

Це рівняння містить дві невідомі величини:  і  Друге рівняння з тими ж невідомими необхідно одержати, розглядаючи деформації кільця.

Диференційне рівняння пружної лінії кругового кільця при плоскому згинанні з урахуванням залежності (13.196) запишемо в наступному вигляді:

де   — момент поперечного переріза  кільця;

— дотична складова   розподіленого навантаження; у цьому випадку

;

— нормальна складова розподіленого навантаження; у цьому випадку

.

Після підстановки значень  і  й заміни функції  виразом

,

рівняння пружної лінії кільця приймає вид

або

Останнє рівняння разом з отриманим раніше утворить систему, двох рівнянь із двома невідомими:   і .

Результати рішення цієї системи при деяких значеннях  наступні:

Радіальні переміщення на верхньому краї оболонки відповідно до рівняння (13.196):

або

Осьові зусилля й напруження можуть бути визначені по рівняннях (13.201), (13.208).

Згинальний момент у кільці, у перетині, де прикладена сила Р,

Числові значення цих величин наступні:

Епюри  й  показані на мал. 13.12.

Рис. 13.64. Епюри  й  за полубезмоментній теорії

Згинальний момент у небезпечному перерізі кільця

відповідне максимальне напруження

Приведемо рішення цієї ж задачі по безмоментній теорії.  Вище було отримано наступний вираз функції  для циліндричної оболонки, закріпленої по нижньому краю і навантаженою по верхньому краю силою, що зрушує :

При    й  цей вираз приймає вид

Рішення останнього рівняння разом з рівнянням деформації кільця при заданих числових величинах приводить до наступних результатів:

Епюри  й , побудовані на підставі рішення по безмоментній теорії, наведені на рис. 13.65.

Рис. 13.65. Епюри  й  по безмоментній теорії

Порівняння епюр показує, що різниця між рішеннями по безмоментній теорії та полубезмоментній теорії в цьому випадку порівняно невелика. Це пояснюється тим, що напружений стан розглянутої оболонки близький до безмоментного. Збіг результатів буде кращим, якщо в рішенні за полубезмоментній теорії врахувати переміщення за рахунок зрушень, викликаних поперечною силою.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter