Узагальнені переміщення й узагальнені сили. Деякі теореми теорії пружності й будівельної механіки
У попередніх розділах переміщення точок пружних тіл і систем, що виникають у результаті деформації, визначалися як зміни значень їхніх координат у тій або іншій системі координат. Зазначені переміщення, які надалі будемо називати простими переміщеннями, по суті є координатами пружної системи щодо її початкового недеформованого стану.
При використанні багатьох наближених і, зокрема, варіаційних методів зручніше використовувати так звані узагальнені переміщення, або узагальнені координати.
Узагальненими переміщеннями будемо називати таку сукупність деяких параметрів, які цілком визначають переміщення всіх точок пружного тіла або пружної системи. Узагальнені переміщення повинні бути обрані так, щоб вони були незалежними і при їх довільній зміні не порушувалися зв’язки, накладені на систему. Приведемо кілька прикладів.
При обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі за узагальнене переміщення можна прийняти кут повороту; при обертанні твердого тіла навколо нерухомої точки за узагальнені переміщення приймають три эйлерових кути і т.п. У цих прикладах число узагальнених координат дорівнює числу ступенів волі, і маючи у своєму розпорядженні значення узагальнених координат, можна визначити зовсім точно положення будь-якої точки тіла.
Для пружного тіла число ступенів волі нескінченно велико. Тому згинання осі вільно обпертої балки довжиною l можна представити у вигляді ряду
| (11.18) |
Коефіцієнти цього ряду можна розглядати як узагальнені координати. Справді, при довільній зміні коефіцієнтів у виразі (11.18) на величину зв’язку, накладені на балку, не будуть порушені, оскільки форми узагальнених переміщень або, як їх звичайно називають, фундаментальні (координатні) функції задовольняють кінематичним умовам (звертаються в нуль на кінцях балки).
З наведених вище міркувань виходить ряд властивостей, якими повинні володіти координатні функції:
- Кожна з координатних функцій повинна бути безперервною функцією координат точок у межах безперервної частини тіла або системи.
- Кожна з координатних функцій повинна задовольняти кінематичним зв’язкам системи: у точках або перерізах, де по улаштуванню зовнішніх зв’язків які-небудь переміщення виключені (переміщення на жорстких опорах, кути повороту перерезів балки у жорсткому затисненні), відповідні координатні функції або їх похідні повинні мати нульові значення, у точках і перерізах, де переміщення можливі, принаймні одна з координатних функцій (похідних) повинна бути відмінною від нуля.
- Сукупність усієї нескінченної безлічі координатних функцій повинна утворити повну систему лінійно незалежних функцій. Аналогічно поняттю узагальненого переміщення вводиться поняття узагальненої сили. Узагальнені сили не можуть задаватися довільно, а повинні відповідати обраним узагальненим координатам (переміщенням) . По визначенню узагальнена сила є коефіцієнт при прирощенні узагальненого переміщення загальному виразі для роботи всіх зовнішніх сил, прикладених до системи, на цьому переміщенні
| (11.19) |
Приклад. Нехай на вільно обперту балку діє розподілене навантаження інтенсивністю , в перерезі прикладена сила P, а в перерезі — момент (рис. 11.4).
Рішення
Для визначення узагальненої сили необхідно надійти в такий спосіб. Дамо узагальненому переміщенню прирощення . Прирощення викликає збільшення пружної лінії балки (11.18):
Рис. 11.4. Наприклад 11.1
На цьому прирощенні зазначене вище навантаження балки зробить роботу
| (11.20) |
Коефіцієнт (вираз в дужках) при буде шуканим значенням для узагальненої сили .
Деякі теореми теорії пружності і будівельної механіки
Теорема Лагранжа. Якщо виразити можливі переміщення системи через узагальнені, то сума робіт всіх зовнішніх сил при відхиленні системи від положення рівноваги запишеться у вигляді
| (11.21) |
Для зовсім пружного тіла потенційна енергія є однозначною функцією компонентів переміщень і, отже, однозначною функцією узагальнених координат. Тоді варіацію потенційної енергії можна визначити по формулі
| (11.22) |
Вносячи вираження (11.21) і (11.22) у рівняння (11.3) і дорівнюючи в отриманій рівності коефіцієнти при однакових варіаціях , одержуємо математичне формулювання теореми Лагранжа
| (11.23) |
т.є. у положенні рівноваги похідна від потенційної енергії деформації по узагальненій координаті дорівнює відповідній узагальненій силі.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
