Рішення осесиметричних задач. Розрахунок пластин з комбінованим контуром
Розв’язання осесиметричних задач
Отриманий розв’язок (6.49) з фундаментальними функціями (6.50) має
значний ступінь спільності. Навантаження на пластину й умови обпирання
кромки й лінії ОА (рис. 6.5) можуть бути довільними. Зокрема, уздовж
лінії ОА можуть бути вільні краї (пластина з розрізом); жорстко
затиснені краї (пластина із жорстким ребром); шарнірне обпирання країв і
т.д.
прийме вигляд
, одержуємо початкові параметри (представлені в табл. 6.4). Узагальнений
прогин точки круглої пластини визначається згідно (6.49) по формулі
,
вибирається по табл. 3.2. Далі можна обчислити дійсні прогини й
згинальні моменти в окремих точках лінії ОА (рис. 6.5) по виразам
(6.41), (6.46).
Жорстке защемлення Жорстке защемлення 0,236?10-2 0,0 0,152?10-2 0,0
Жорстке защемлення Шарнірне обпирання 0,491?10-2 0,0 0,574?10-2 0,0
Жорстке защемлення Вільний край 0,536?10-1 0,0 -0,1013 0,0
Шарнірне обпирання Шарнірне обпирання 0,162?10-1 0,0 0,617?10-2 0,0
При цьому враховувалося, що в сингулярній точці О(0,0)
У табл. 6.3 представлені результати цих обчислень. Помітимо, що дані
осесиметричні задачі вигину мають труднощі математичного порядку при
інтегруванні рівнянь рівноваги [317, c.69]
. Вся складність складається у визначенні величини Q, що враховує
реакцію в центрі, що визначає відсутність розв’язків подібних задач у
довідкових даних робіт [ 47-49, 71, 142, 262, 317] і ін. Раніше
відзначалося, що МГЕ має математичний апарат, що дозволяє розкривати
подібні невизначеності й результати таблиці 6.3 це підтверджують.
Вірогідність результатів МГЕ можна підтвердити порівнянням з
результатами таблиць 65 і 67 монографії проф. С.П. Тимошенко [317,
с.332]. Там представлені максимальний прогин і згинальні моменти для
напівкруглої пластинки. Для пружних пластин зменшення кутової координати
в 2 рази зменшує приблизно в 2 рази й параметри напружено-деформованого
стану. Дані роботи [317]:
жорстке защемлення по контурі
шарнірне обпирання по контурі
досить добре погоджуються з результатами табл. 6.3.
Розрахунок пластин з комбінованим контуром
?
’
”
–
¦
?
?
J
J
J
J
круглого елемента є можливість зміни кута між прямокутними елементами,
що істотно розширює область застосування одномірного варіанта МГЕ. Якщо
пластина в плані являє собою правильну область хоча б з однією віссю
симетрії (рис. 6.6, а), то її завжди можна апроксимувати прямокутними
елементами. Однак, неправильні, кососиметричні й багатозвязні області не
можуть бути описані прямокутними елементами.
Такі області приблизно можна апроксимувати набором прямокутних і круглих
елементів, тобто пластина з довільним контуром заміняється пластиною з
комбінованим контуром. Орієнтовані графи подібних випадків представлені
на рис. 6.6. Застосуємо одномірні інтегральні рівняння (6.20), (6.49)
для розрахунку пластини з “Г”-подібною областю, навантаженою рівномірно
розподіленим навантаженням (рис. 6.6,с).
. Вихідні дані круглого елемента:
у прямокутних елементів:
Методом Гауса одержуємо узагальнені граничні параметри пластини по рис.
6.6,с
Рис. 6.6
(6.52)
Початкові параметри секторіального елемента 1-2 дозволяє визначити
напружено-деформований стан у будь-якій внутрішній точці своєї області.
Зокрема, результати розрахунків по лінії ОА (рис. 6.6,с) зведені в табл.
6.5. Там же наведені результати методу R-функцій для подібної пластини,
але із прямокутним середнім елементом [268, с.111] (у цих пластинах не
збігається приблизно 22% довжини контуру). Близька відповідність між
результатами двох задач повинна спостерігатися в середній зоні круглого
елемента, що й відбивається даними табл. 6.5. Згинальні моменти в
круглому елементі повинні бути більші, ніж у прямокутному, тому що
більші прогини при менших розмірах досягаються за рахунок більших
моментів.
Таблиця 6.5
Величини Метод Лінія ОА
0,0а 0,2а 0,4а 0,5а 0,6а 0,8а 1,0а
Прогин
МГЕ 0,0 15,314 35,98 39,27 35,98 15,31 0,0
R-функцій 0,0 18,0 35,0 38,0 37,0 25,0 10,0
Згинальний
момент
1,2 4,2 4,3 3,6 1,5 -0,8
Згинальний момент
-1,8 1,2 2,4 2,89 3,2 2,5
Таким чином, порівняння з результатами методу R-функцій підтверджує
вірогідність результатів МГЕ. При цьому, на відміну від методу
R-функцій, отриманий аналітичний розв’язок задачі вигину пластини з
неканонічною областю в плані й визначені перші наближення для згинальних
моментів у сингулярній точці О. По МКЕ така задача зажадає складання й
розв’язання алгебраїчної системи з 150-200 рівнянь.
Очевидно, що застосування одномірного варіанта МГЕ має свою золоту
середину. Найбільший ефект може бути досягнутий там, де область пластини
добре описується набором прямокутних і круглих елементів. При цьому
істотно (мінімум на порядок) зменшується трудомісткість розрахунку й
полегшується процес побудови обчислювальних програм у порівнянні з
іншими чисельними методами [196]. Там же, де область пластини вимагає
розбивки на велике число круглих і прямокутних елементів, ефективність
методу знижується. У зв’язку з цим одномірний варіант МГЕ повинен
займати належне йому місце в ряді інших методів розрахунку пластинчастих
систем.
Додамо, що інтегральне рівняння (6.49) може бути застосоване також для
розрахунку різних секторів. Для цього необхідно відповідним чином
комбінувати навантаження всієї пластини, як показано в роботі [317,
с.330]. У цих випадках варіаційний метод Канторовича-Власова звільняє
розрахунки від мало зручних у застосуванні функцій Бесселя.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
