Рішення задачі теорії пружності в напругах при постійних об’ємних силах.
Типи граничних умов на поверхні тіла. Теорема одиничності. Методи
рішення задачі теорії пружності
Рішення задачі теорії пружності в напруженнях при постійних об’ємних
силах
обертаються в нуль.
й почленно склавши, одержимо
:
:
Тоді замість (2.13) одержимо
або
(2.14)
Функція, що підкоряється рівнянню (2.14), називається гармонійною. Отже,
при постійності об’ємних сил об’ємна деформація 9 є гармонійна функція.
Підставляючи в рівняння (2.14) вираз об’ємної деформації (1.65) і ділячи
на постійний множник, одержуємо
(2.15)
тобто при постійності об’ємних сил перший інваріант напруженого стану
теж є функція гармонійна.
Для їх визначення трьох рівнянь рівноваги (2.1) недостатньо й тому
потрібно додати ще шість рівнянь нерозривності деформацій (2.4). В
останні входять складові деформації, які необхідно попередньо виразити
через напруження. Підставляючи в перше рівняння (2.4) вираз деформацій
(2.5), одержимо
. Для цього продифференціюєм перше рівняння рівноваги (2.1) по х, друге
— по у, третє — по z. Складаючи почленно два перших з отриманих рівнянь
і віднімаючи третє, знаходимо
(2.17)
Підставляючи (2.17) у рівняння (2.16), одержуємо
Тоді з урахуванням рівняння (2.15)
Аналогічно можна перетворити інші рівняння нерозривності деформацій
(2.4). В результаті одержимо шість рівнянь:
(2.18)
Ці рівняння одержав італійський математик Е. Бельтрамі. Трохи пізніше
австралієць Дж. Мичелл вивів аналогічні рівняння для загального випадку,
коли об’ємні сили не постійні і, отже, у праву частину рівнянь замість
нулів входять члени, що містять похідні від об’ємних сил. Тому рівняння
(2.18) називають рівняннями Бельтрамі-Мичелла.
Таким чином, для рішення завдання теорії пружності в напруженнях
доводиться інтегрувати дев’ять рівнянь (2.1) і (2.18). Наявність трьох
зайвих рівнянь необхідно для одержання однозначного рішення, про що вже
говорилося при виводі рівнянь нерозривності деформацій (2.4), наслідком
яких є рівняння Бельтрамі-Мичелла.
Отримані після інтегрування шість складових напружень повинні
задовольняти умовам на поверхні (2.2). Після цього по формулах закону
Гука (2.5) визначають складові деформацій, а з геометричних
співвідношень Коші (2.3) – складових переміщень.
Типи граничних умов на поверхні тіла
Рішення задачі теорії пружності будь-яким способом зводиться до
інтегрування системи диференціальних рівнянь у частинних похідних, що
визначають поводження пружного тіла у внутрішніх точках. До цих рівнянь
додаються умови на поверхні, що обмежує тіло. Ці умови диктують завдання
або зовнішні поверхневі сили, або переміщень точок поверхні тіла.
Залежно від цього звичайно формулюють один із трьох типів крайових
задач.
4
z
AE
E
E
ae
?
o
V X i o
H
L
Z
\
F
H
J
L
X
\
?
th
jc
\
phDПерша крайова задача — кінематична. В обсязі тіла відшукуються
складові переміщень, що приймають на поверхні певні значення. В умові на
поверхні тіла в такий спосіб задаються рівняння поверхні й значення
складових переміщень на цій поверхні.
Друга крайова задача — статична. У цьому випадку на поверхні тіла не
накладені ніякі обмеження на переміщення і задаються рівняння поверхні,
що направляють косинуси нормалі до поверхні й значення складових
поверхневих навантажень. Ці дані вносяться в рівняння (2.2).
У випадку, коли поверхня тіла збігається з координатними площинами,
крайові умови можуть бути сформульовані безпосередньо в напругах. Тоді
достатньо указати рівняння поверхні й задати значення складових
напружень на цій поверхні.
Третя крайова задача — змішана. У цьому випадку на одній частині
поверхні тіла задаються кінематичні умови, а на іншій – статичні.
Цими трьома задачами не вичерпується вся розмаїтість крайових умов.
Наприклад, на деякій ділянці поверхні можуть бути задані не всі три
складові переміщення або складові поверхневого навантаження.
Теорема одиничності. Методи рішення задачі теорії пружності
При рішенні задач теорії пружності може виникнути питання про те, чи є
отримане рішення однозначним, тобто чи відповідає заданим об’ємним і
поверхневим силам одна система напружень або їх декілька.
Доведемо наступну теорему. Для тіла, що перебуває в природному стані,
рішення задачі теорії пружності єдино, якщо справедливий принцип
незалежності дії сил.
Припустимо зворотнє: під дією заданих поверхневих і об’ємних X, Y, Z
сил можливе виникнення двох різних сукупностей напружень:
і
Обидві сукупності повинні задовольняти рівнянням рівноваги
і умовам на поверхні
.
Віднявши почленно відповідні рівняння цих систем, одержимо нову систему
рівнянь рівноваги
(2.19)
і умов на поверхні
(2.20)
На підставі принципу незалежності дії, сил різниці напружень, що входять
у ці системи рівнянь, можна прийняти за нову сукупність напружень, що
відповідно до рівнянь (2.19) і (2.20) виникає при відсутності об’ємних і
поверхневих сил. Але для тіла, що перебуває в природному стані, ці
напруження повинні дорівнювати нулю, тобто
або
Отже, обидві сукупності напружень збігаються і рішення задачі теорії
пружності, коли задані об’ємні і поверхневі сили, єдино. Точно так само
можна довести одиничність рішення задачі теорії пружності і у випадку,
коли на поверхні пружного тіла задані переміщення.
З доведеної теореми виходить: так як рішення задач теорії пружності
єдино, то байдуже, яким математичним методом вона вирішена. Можна
вказати три основних методи математичного рішення задачі теорії
пружності:
1. Прямий метод. Він полягає в безпосередньому інтегруванні рівнянь
теорії пружності разом із заданими умовами на поверхні.
2. Зворотний метод. У цьому випадку задаються функція переміщень або
напружень, що задовольняють диференціальним рівнянням, і визначається,
яким зовнішнім навантаженням відповідає розглянута система переміщень
або напружень.
3. Напівзворотній метод Сен-Венана. Він складається в задаванні частини
функцій напружень або переміщень. Потім за допомогою рівнянь теорії
пружності встановлюються залежності, яким повинні задовольняти функції,
що залишилися, напружень і переміщень. При цьому диференціальні рівняння
настільки спрощуються, що рішення їх не представляє особливих труднощів.
Напівзворотний метод є одним з найбільш ефективних методів рішення задач
теорії пружності.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
