Рівняння безмоментної теорії оболонок обертання (реферат)

Рівняння безмоментної теорії оболонок обертання

Відповідно до основного допущення безмоментної теорії, що згинають і скручують моменти, а також поперечні сили вважаються рівними нулю. Із цього допущення виходить, що нормальні напруження  і  й дотичні напруження  і  постійні по товщині оболонки, а напруження  і — відсутні.

Виділимо нескінченно малий елемент стінки оболонки, обмежений двома близькими меридіональними перетинами і двома кінцевими перетинами, перпендикулярними серединній поверхні (рис. 13.6), і розглянемо його рівновагу.

Крім напружень , ,  =  на виділений елемент діє поверхневе розподілене навантаження, яке можна представити у вигляді трьох складових:

— по  нормалі до поверхні;

— по дотичній до меридіана;

— по дотичній до паралелі.

Рис. 13.6. Нескінченно малий елемент стінки оболонки

Уведемо позначення:

— нормальна сила в окружному напрямку;

— нормальна сила в меридіональному напрямку;

— сила, що зрушує.

Внутрішні сили , ,  прийнято відносити до одиниці довжини дуги: розмірність цих сил — Н/см.

При несиметричному навантаженні оболонки всі величини залежать від двох змінних — від дуги  і полярного кута , тому рівняння виходять у частинних похідних.

Складемо рівняння проекцій сил, що діють на елемент оболонки (рис. 13.6), на нормаль до поверхні , на вісь обертання  й на дотичну до окружності :

Рівняння моментів у цьому випадку задовольняються тотожно.

Відкинувши величини більше високого порядку малості й виконавши елементарні перетворення з урахуванням залежностей

; ; ,

прийдемо до наступної системи трьох рівнянь із трьома невідомими:

де — осьова складова поверхневого навантаження;

Рівняння (13.5) відомо за назвою рівняння Лапласа. Рівняння (13.5) — (13.7) можуть бути зведені до одного диференційного рівняння другого порядку в частинних похідних з одним невідомим. Рішення цих рівнянь повинно задовольняти граничним умовам на краях. Якщо граничні умови — силові, тобто на краях задані зусилля  й , то рішення системи рівнянь (13.5) — (13.7) може бути доведене до кінця. Якщо ж граничні умови – геометричні, тобто на краях задані переміщення, то необхідно додатково використовувати рівняння переміщень.

Перейдемо до виводу рівнянь переміщень. Уведемо позначення:

— складова переміщення довільної точки серединної поверхні по напрямку дотичної до меридіана;

— складова переміщення по напрямку дотичної до паралелі;

— складова переміщення по нормалі до поверхні.

Напрямку переміщень, показані на рис. 13.7, прийняті за позитивні.

Рис. 13.7. Позитивні напрямки переміщень

Переміщення точок N і L відрізняються від переміщень точки М на нескінченно малі збільшення.

Обчислимо відносні лінійні деформації в меридіональному й окружному напрямках  і  й кутову деформацію в дотичної площини .

За рахунок збільшення переміщення  по координаті  відрізок меридіана  одержує подовження, рівне . За рахунок переходу крапок  і  на більший радіус той же відрізок одержує подовження, рівне . Склавши ці подовження й розділивши на первісну довжину відрізка , одержимо відносне подовження в меридіональному напрямку

Аналогічно визначимо окружну деформацію. Відрізок , рівний , одержує наступні подовження:

за рахунок збільшення  переміщення  по координаті ;

за рахунок зсуву точок  і  уздовж меридіанів;

за рахунок зсуву точок  і  по нормалі і переходу їх на більший радіус.

Розділивши суму цих подовжень на первісну довжину відрізка , знайдемо відносну окружну деформацію

Кутова деформація  дорівнює сумі кутів повороту відрізків  і  в дотичної площини. Кут повороту відрізка  (позначимо його через ) залежить тільки від збільшення переміщення  по координаті :

Кут повороту другого відрізка  пов’язаний зі збільшенням переміщення  по координаті :

Цей кут, однак, залежить не тільки від деформації серединної поверхні, але й від повороту оболонки як жорсткого цілого навколо її осі. Дійсно, при повороті оболонки на деякий кут  точка одержить переміщення по окружності,  рівне ,

а сусідня з нею точка — переміщення .

Різниця окружних переміщень точок  і , розділена на довжину відрізка , дає ту частину кута повороту відрізка , що не залежить від деформації серединної поверхні:

.

Віднімаючи  з , знайдемо кут повороту відрізка меридіана , пов’язаний з деформацією зрушення серединної поверхні:

.

Сума кутів  і  дає кутову деформацію

Рівняння (13.9) — (13.11) встановлюють залежність між деформаціями , ,  і компонентами   переміщень , , .

Виразимо деформації через зусилля. Відповідно до узагальненого закону Гука:

;

;

.

З урахуванням цих рівностей рівняння (13.9) – (13.11) приймають вид

Якщо зусилля , і  вже знайдені, то в отриманій системі трьох рівнянь (13.12) — (13.14) утримуються тільки три невідомих , , . Перетворюя цю систему до одного рівняння з один невідомим, одержимо диференціальне рівняння в частинних похідних другого порядку, рішення якого також повинно задовольняти граничним умовам на краях оболонки.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter