Приклади рішення статично невизначених задач.
Приклад. До стрижня, закріпленого обома кінцями, прикладена осьова сила (рис.5.12,а). Визначити зусилля, що виникають у нижній і верхній частинах стрижня.
| а | б |
Рис.5.12. Наприклад 5.5
Рішення
Статична сторона завдання. Оскільки сила діє уздовж осі стрижня, на його кінцях можуть виникнути тільки вертикальні складові реакцій (RAі RB). Направимо їх довільно – так, як показано на рис.5.12,а.
Для системи сил, що діють по однієї прямої лінії, можна скласти лише одне рівняння рівноваги:
| (5.56) |
Отже, задача один раз статично невизначена.
Геометрична сторона завдання. Тому що кінці стрижня жорстко закріплені, то його загальна довжина не змінюється. Отже,
| (5.57) |
Фізична сторона завдання. У поперечних перерізах верхньої частини стрижня діють зусилля NAC = RA, а в поперечних перерізах нижньої — зусилля NВС = – RB. Використовуючи закон Гука, виразимо деформації через ці зусилля:
| (5.58) |
Синтез. Підставляючи (5.58) в (5.57), одержимо
або
| (5.59) |
Вирішуючи спільно рівняння (5.56) і (5.59), одержимо
Остаточна епюра поздовжніх сил представлена на рис.5.12,б.
Приклад 5.6. Підібрати площі поперечних перерізів трьохстрижневої підвіски, розрахункова схема якої зображена на рис.5.13,а. Довжина середнього стрижня , кут між віссю середнього стрижня і осями бокових стрижнів . Всі стрижні зі сталі марки Ст2. Площі поперечних перерізів бокових стрижнів Підвіска у вузлі А буде навантажуватися вертикальною силою F = 80 кН.
| а | б | в |
Рис.5.13. Наприклад 5.6
З розрахункової схеми конструкції, а також з допущення про те, що шарніри у вузлах ідеальні, треба, щоб при навантаженні підвіски у вузлі А в стрижнях будуть виникати тільки осьові зусилля, у цьому випадку – розтягальні.
Підбір площі поперечного перерізу стрижня при розтяганні (проектувальний розрахунок) проводять за умовою міцності
Знайдемо зусилля в стрижнях підвіски. Конструкція один раз статично невизначена, тому що має один зайвий зв’язок.
Статична сторона задачі. Умова рівноваги вузла А (рис.5.13,б) виражається двома рівняннями статики:
З першого рівняння треба, щоб . В результаті залишається друге рівняння, що містить два невідомих зусилля:
| (5.60) |
Геометрична сторона завдання. Тому що система симетрична щодо осі середнього стрижня а бокові стрижні розтягуються однаковими силами, тобто вузол А при деформації підвіски опуститься по вертикалі на якусь величину . Нове положення вузла буде А1 (рис.5.13,в). Всі стрижні подовжаться й займуть положення, показане на рис.5.13,в штриховими лініями. Подовження середнього стрижня, мабуть, буде . Подовження бічних стрижнів одержимо, якщо із точок В і D радіусом, рівним ВА (або DA), проведемо дуги через точку А і зробимо позначення на нових довжинах стрижнів ВА1 і DA1. Внаслідок того, що пружні подовження дуже малі в порівнянні з довжинами стрижнів, можна вважати, що кути між осями стрижнів не змінюються, а проведені дуги замінити перпендикулярами, опущеними з вузла А на нові напрямки стрижнів. Тоді
| (5.61) |
Фізична сторона завдання. Подовження стрижнів виразимо за законом Гука через діючі в них зусилля:
| (5.62) |
Синтез. Підставляючи значення з (5.62) в (5.61), одержимо
Виразимо N2 через N1:
| (5.63) |
де — відповідно жорсткості середнього і бокового стрижнів.
Заносимо (5.63) у рівняння рівноваги, будемо мати
звідки
Зусилля й виявилися залежними від співвідношення жорсткостей стрижнів, тому в проектувальному розрахунку їх можна обчислити, тільки задавшись відношенням жорсткостей. У цьому полягає одна з особливостей розрахунку статично невизначених систем.
У випадку однакових матеріалів стрижнів задаються не відношенням жорсткостей, а відношенням площ поперечних перерізів, що, зрозуміло, встановлює і певне відношення жорсткостей стрижнів.
Приймаємо Тоді, з огляду на те, що , одержимо
Тепер зусилля в стрижнях будуть такими:
| (5.64) |
Обчислимо ці зусилля, прийнявши, наприклад, k = 2:
Підберемо площі поперечних перерізів стрижнів, виходячи із припущення, що напруга в середньому стрижні дорівнює допустимій напрузі Тоді
Площі поперечних перерізів бокових стрижнів, відповідно до прийнятого відношення, одержимо такими:
Напруги, з якими будуть працювати ці стрижні,
Ці напруги менше допустимих, тобто стрижні мають надлишковий запас міцності.
Якщо з умови міцності визначити площі поперечних перерізів бокових стрижнів , а потім, відповідно до прийнятого відношення, взяти , то напруга в середньому стрижні виявиться більше допустимого. Таким чином, цей другий варіант підбору площ поперечних перерізів варто відкинути.
Відзначимо, що в статично невизначеній системі принципово неможливо одержати рівноміцність всіх її елементів.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
