Приклади визначення переміщень інтегруванням диференціального рівняння зігнутої осі балки (реферат)

Приклади визначення переміщень інтегруванням диференціального рівняння зігнутої осі балки

Розглянемо кілька прикладів визначення деформацій балок методом безпосереднього інтегрування основного диференціального рівняння (8.44), а потім установимо правила побудови епюр кутів повороту й прогинів, які необхідні при дослідженні деформованого стану балок при складній системі навантажень.

Визначимо  й  для консолі постійного поперечного перерізу із зосередженою силою  на вільному кінці (мал.8.42).

Згинальний момент у перерізі х будемо обчислювати як результат дії зовнішніх сил, розташованих ліворуч від перерізу:

Підставляючи вираз для М(х) у рівняння (8.44), одержимо

Інтегруємо двічі:

Для визначення постійних С и D маємо граничні умови:

1) при

2) при .

Із другої умови

звідки

тоді

З першої умови

звідки

Остаточні рівняння прогину й кута повороту наступні:

Пружна лінія балки (8.52) являє собою параболу третього ступеня.

Тепер можна визначити  й . Як легко переконатися, що  й  мають місце на вільному кінці балки в точці А (при х = 0). Отже,

Негативне значення  показує, що прогин відбувається в напрямку, протилежному напрямку осі w (тобто вниз). Позитивний кут повороту  показує, що поворот перерізу відбувається проти годинникової стрілки.

Порівнюючи вирази (8.50), (8.51) для довільних постійних з виразами (8.55), (8.54) для  й , переконуємося, що С дорівнює куту повороту на вільному кінці консолі (при х = 0), a D дорівнює прогину вільного кінця консолі (при х = 0).

Побудуємо епюри прогинів і кутів повороту для простої балки постійного перерізу (мал.8.43), що несе суцільне рівномірно розподілене навантаження .

Рис.8.43. Шарнірна балка постійного перерізу

Опорні реакції

Згинальний момент у довільному перерізі

Складаємо диференціальне рівняння вигнутої осі:

Інтегруючи його двічі, одержуємо

Граничні умови  наступні:

1) на лівому кінці прогин дорівнює нулю, тобто при

2) на правому кінці прогин дорівнює нулю, тобто при

Перша умова дає

Друга умова дає

звідки

Підставивши обчислені значення довільних постійних у рівняння (8.56) і (8.57), одержимо рівняння пружної лінії

і рівняння кутів повороту

Для побудови епюр  і  обчислимо кути повороту по кінцях балки, а також прогин посередині прольоту  Кути повороту на опорах знайдемо з рівняння (8.61). При  одержимо величину кута повороту на лівій опорі:

На правій опорі, тобто при ,

Порівнюючи значення довільних постійних С и D з виразами для  й , знову переконуємося, що вони відповідно дорівнюють куту повороту й прогину на тій опорі, де перебуває початок координат:

Відзначимо, що таким буде геометричний зміст довільних постійних на ділянці, що примикає до початку координат, для будь-якої балки при довільному навантаженні.

Підставивши в рівняння (8.60) , обчислимо величину прогину

З рівняння (8.60) пружної лінії заключаємо, що балка згинається по кривій, що є параболою четвертого порядку. Так як згинальний момент по всій довжині балки позитивний, то, виходить, усюди стиснені верхні волокна й, отже, балка згинається опуклістю вниз.

Обчисливши величини прогинів у різних перерізах, відкладаємо їх у певному масштабі вниз від базисної лінії. З’єднавши кінцеві точки відкладених відрізків кривій, одержуємо епюру прогинів w. Епюра прогинів у прийнятому масштабі зображує вигнуту вісь розглянутої балки.

Для побудови епюри  відкладемо обчислені значення  й  від базисної лінії вниз і вгору відповідно. З умови симетрії балки й навантаження маємо, що переріз на осі симетрії (тобто ) не повертається. Виходить,

Відповідно до рівняння (8.61) епюра кутів повороту повинна бути обкреслена параболою третього порядку. Будуємо епюру по точках (мал.8.43), обчисливши проміжні ординати:

При цьому параболічна крива на лівій половині балки звернена ввігнутістю вгору, а на правої — вниз.

Розглянемо ще один випадок визначення переміщень. Для простої балки постійного поперечного перерізу, навантаженою силою  в точці С (мал.8.44), необхідно:

а) знайти рівняння пружної лінії й кутів повороту;

б) обчислити прогини в точці С і посередині прольоту, а також визначити положення й величину стріли прогину;

в)обчислити кути нахилу перерізів у точках А, В і С;

г)побудувати епюри Q, М,  і w приймаючи

Рис.8.44. Визначення переміщень у шарнірній балці

Надамо цей приклад для самостійного рішення. Укажемо лише, що на кожній з ділянок балки при інтегруванні диференціальних рівнянь пружної лінії будуть отримані по дві довільні постійні. Для їхнього  визначення до двох опорних умов балки повинні бути додані умови плавного й безперервного сполучення ділянок АС і СВ у точці С при х = а:

Ці додаткові умови виражають відсутність розриву й відсутність зламу пружної лінії балки під силою .

Для самоконтролю приводимо остаточні рівняння прогинів і кутів повороту:

для ділянки АС

для ділянки ВС

Епюри Q, М,  і w зображені на мал.8.45 і 8.45,а

Рис.8.45. Епюри Q, М

Рис.8.45,а. Епюри  й w

Скористаємося результатами цього прикладу для того, щоб визначити абсциси перерізів з найбільшим прогином і величини f при різних положеннях вантажу  на балці. Найбільший прогин буде мати місце в перерізі  де

При  цей переріз знаходиться на ділянці АС.

Прирівнявши нулю рівняння (8.65), одержимо

Досліджуємо, як буде мінятися абсциса перерізу з найбільшим прогином при переміщенні сили  від середини балки до правої опори.

При  абсциса  Виходить, навіть у граничному випадку, коли вантаж  підійде до опори В, точка з найбільшим прогином буде перебувати від середини балки на відстані всього

Помітимо, що на такій же відстані від середини прольоту перебуває найбільший прогин і у випадку, коли балка на двох опорах навантажена моментом, що діє над однією з опор.

Підставивши вираз (8.69) у рівняння (8.64) для пружної лінії на ділянці АС, одержимо формулу для

Прогин посередині прольоту знайдемо з рівняння (8.64), підставивши :

Аналіз формул (8.69) і (8.64) показує, що навіть при  різниця між прогином посередині балки й максимальним прогином не перевищує 3%. Отже, прогин балки посередині прольоту  приблизно дорівнює найбільшому прогину f. Цей висновок застосовний при дії на балку будь-яких навантажень, що викликають вигин в одну сторону.

У багатьох випадках побудова епюр  і  можлива й без складання аналітичних виразів для прогинів і кутів повороту по ділянках: досить лише обчислити прогини й кути повороту для деяких характерних перерізів. При побудові ж епюр варто користуватися правилами, які можуть бути отримані на основі аналізу диференціальних залежностей, що існують між Q, М,  і w.

Запишемо ці залежності в зручній для аналізу формі. З рівняння (8.44) з врахуванням виразу (8.40) знаходимо, що

Продиференціював рівняння (8.72) по х і, з огляду на залежність  одержимо

Таким чином, маємо дві групи диференціальних залежностей

аналогічних залежностям, на підставі яких були отримані правила для побудови епюр Q і М (розділ 1). Вираз (8.74), (8.75), а також зіставлення побудованих епюр дозволяють установити загальні для будь-яких балок залежності між епюрами Q, М,  і w, які будуть надалі служити правилами побудови епюр. Укажемо найбільш важливі із цих правил:

1. Так як М(х) — похідна епюри кутів повороту , то ординати епюри М пропорційні тангенсу кута нахилу дотичної до епюри . У перерізах, де М(х) = 0, дотична до кривої повинна бути паралельна осі абсцис (мал.8.43 і 8.45, перерізу А і В). Стрибку на епюрі моментів відповідає кутова точка на епюрі .
2. Якщо згинальний момент дорівнює нулю протягом якої-небудь ділянки балки, то на цій ділянці епюра прямокутна, а епюра w прямолінійна, але, загалом кажучи, похила.
3. На ділянках, де діє постійний момент (на ділянках, що перебувають в умовах чистого згину), епюра прямолінійна й похила, а епюра w — параболічна.

Тут виявляється протиріччя з викладеним вище твердженням, що при чистому згині кривизна постійна к = const, і балка згинається по дузі окружності. Причина цього в наближеності диференціального рівняння пружної лінії, яким ми користуємося для виводу рівняння (8.72). Строго говорячи, при чистому згині балка згинається по дузі окружності, що у межах малих деформацій з досить великою точністю може бути представлена квадратичною параболою.

4. Друга похідна прогину має знак моменту. Якщо момент позитивний (стиснені верхні волокна), то ввігнутість на епюрі w буде звернена убік позитивних w (вгору). При негативному моменті ввігнутість параболи звернена вниз. Так як ординати епюр згинальних моментів ми домовилися відкладати з боку стиснених волокон, то ввігнутість епюри прогинів w завжди звернена в ту сторону, з якої розташовані ординати епюри згинальних моментів. У перерізі, де діє зосереджений момент М, маємо точку перегину пружної лінії.
5. Друга похідна кута повороту має знак поперечної сили. Якщо Q позитивна, то опуклість на епюрі буде звернена вниз. При Q < 0 опуклість спрямована убік осі , тобто вгору. У перерізі, де Q міняє знак, на епюрі маємо точку перегину.
6. На тих ділянках балки, де епюра М змінюється за лінійним законом (наприклад, на ділянках АС і СВ мал.8.45) епюра буде квадратичною параболою, а епюра w — параболою третього порядку.
7. Так як являє собою графік зміни по довжині балки тангенсів кутів нахилу дотичних до пружної лінії, то можна стверджувати наступне:

а) на ділянках, де в напрямку осі х прогин w зростає, кут нахилу  буде позитивний, і навпаки, при зменшенні w кути нахилу  будуть негативні;

б) у перерізах, де  = 0, дотична до епюри w горизонтальна, тобто тут на епюрі w виходить аналітичний максимум або мінімум.

8. У тих перерізах, де на балці розташовані проміжні шарніри, на епюрі кутів повороту будуть скачки. На епюрі w у цих перерізах виходять переломи, тобто кутові точки, у яких стрибкоподібно змінюється кут нахилу дотичної до епюри w.

Перераховані особливості епюр дозволяють по їхньому вигляді встановити, чи не допущені принципові помилки при побудові.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter