Рівняння руху пластини постійної товщини
Задача про визначення частот і форм власних коливань пластин і оболонок приводять до необхідності інтегрування диференціальних рівнянь у приватних похідних. Найбільш добре вивчені ті випадки, коли виявляється можливим поділ перемінних. До них відносяться, зокрема, коливання прямокутної пластини, шарнірно обпертої по протилежних сторонах, зонтичні і віялові коливання круглих осесиметричних пластин, коливання циліндричних оболонок, замкнутих або шарнірно закріплених уздовж утворюючих.
Якщо поділ перемінних виявляється неможливим, то для розрахунку використовують наближені і чисельні методи.
Розташуємо осі х й у у серединній площині пластини, вісь z направимо по нормалі до цієї площини. Диференціальне рівняння статичного вигину пластини постійної товщини при малих переміщеннях має вид
де – бігармонічний оператор;
– прогин;
– циліндрична жорсткість;
– інтенсивність нормального навантаження.
Додаючи до зовнішнього навантаження інтенсивність сил інерції
де – щільність матеріалу, одержимо рівняння руху у виді
(314)
При вільних коливаннях навантаження , і рішення рівняння (314) шукається у виді
(315)
Підставляючи вираз (315) в однорідне рівняння, що відповідає рівнянню (314), одержимо для амплітудної функції рівняння в приватних похідних
(316)
де
Рівняння (316) може бути подане у виді
звідки випливає, що рішеннями рівняння (316) є, зокрема, рішення більш простих рівнянь
(317)
або, у розгорнутій формі
З нескінченної множини рішень рівняння (316) повинні бути відібрані ті, що відповідають умовам закріплення країв пластини. Ці умови будуть такими ж, як і при статичному вигині:
на жорстко затиснутому краї
на шарнірно обпертому краї
на вільному краї
де і – амплітудний згинальний момент і приведена поперечна сила на контурі.
Якщо пластина віднесена до декартової системи координат то і визначаються формулами
де – кут, утворений зовнішньою нормаллю до контуру з віссю х; – радіус кривизни контуру.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
