Приклади визначення переміщень у балках по методу початкових параметрів
У консолі, навантаженої рівномірно розподіленим навантаженням на половині довжини (мал.8.47,а), визначимо прогини в перерізах балки з абсцисами й
Рис.8.47. Визначення прогинів консольної балки
Запишемо рівняння пружної лінії для правої ділянки балки. Тому що розподілене навантаження обривається в точці С, продовжимо його до кінця балки, одночасно вводячи компенсуючи навантаження такої ж інтенсивності (мал.8.47,б). Рівняння пружної лінії в загальному випадку буде мати вигляд
(8.94) |
З умов рівноваги балки визначаємо статичні початкові параметри:
(8.95) |
Так як початок координат збігається із закладенням, то геометричні початкові параметри — прогин і кут повороту на початку координат — дорівнюють нулю:
(8.96) |
Підставивши в рівняння (8.94) знайдені значення початкових параметрів, одержимо рівняння пружної лінії в остаточному виді:
(8.97) |
Думаючи у виразі (8.97), що одержимо формулу для прогину вільного кінця консолі:
Думаючи у виразі (8.97), що одержимо формулу для прогину в точці С:
(8.98) |
У балці, навантаженої, як показано на мал.8.48, визначимо прогини й кути повороту в точках С и D.
Рис.8.48. Визначення прогину й кута повороту
Запишемо рівняння пружної лінії для крайньої правої ділянки балки (ділянки BD, де ), попередньо продовживши розподілене навантаження до кінця балки й приклавши компенсуюче навантаження:
(8.99) |
Рівняння (8.99) записано з врахуванням того, що статичні початкові параметри вже відомі:
Для визначення геометричних початкових параметрів маємо опорні умови
при
при
З першої опорної умови слідує, що
Друга опорна умова дає
звідки
Тепер рівняння пружної лінії для ділянки балки BD прийме вид
(8.100) |
Щоб знайти переміщення точки досить покласти в цьому рівнянні Тоді
(8.101) |
Щоб обчислити переміщення точки , потрібно записати рівняння пружної лінії для тої ділянки, де перебуває ця точка. Тому що вона лежить на границі I і II ділянок, запишемо рівняння пружної лінії для першої ділянки. Із цією метою в рівнянні (8.100) потрібно викреслити доданки, які відповідають навантаженням, що з’являються лише на II і III ділянках. Інакше кажучи, у рівняння повинна ввійти лише реакція
Таким чином, рівняння пружної лінії на першій ділянці має вигляд
(8.102) |
Вважаючи що одержимо формулу для прогину точки :
Щоб обчислити кут повороту якого-небудь перерізу балки, необхідно мати вираз для кутів повороту на відповідній ділянці балки. Рівняння кутів повороту для ділянки BD одержимо диференціюванням рівняння (8.100):
(8.103) |
Вважаючи що одержимо формулу для кута повороту перерізу :
(8.104) |
Рівняння кутів повороту для першої ділянки (ділянки ) одержимо диференціюванням рівняння (8.102):
(8.105) |
Звідси при одержуємо формулу для кута повороту в перерізі :
Розрахунок на жорсткість при згині. Тепер можна перейти до перевірки жорсткості балок, а також до підбору розмірів перерізів з умови жорсткості.
Позначивши максимальний прогин балки через , а допустиму стрілу прогину через , одержимо умову жорсткості балки:
(8.106) |
Величини допустимих прогинів установлюють на підставі експериментальних і експлуатаційних даних.
Приклад 8.6. Для балки, навантаженої на відстані від лівої опори зосередженим моментом (мал.8.49), побудувати епюри поперечних сил, згинальних моментів, кутів повороту перерізів і прогинів, а також підібрати двотавровий переріз з умов міцності й жорсткості;
Рис.8.49. До прикладу 8.6
Рішення
Визначивши опорні реакції, будуємо епюри поперечних сил і моментів.
Записуємо рівняння прогинів для ділянки :
(8.107) |
Початок координат сполучений з лівою опорою, отже, . У відповідності із другою опорною умовою . З рівняння (8.107) при маємо
звідки
(8.108) |
Підставивши (8.108) у рівняння (8.107), запишемо рівняння пружної лінії на ділянці в остаточному виді:
(8.109) |
Рівняння пружної лінії на ділянці запишеться так:
(8.110) |
Продиференціював рівняння (8.109), одержимо рівняння кутів повороту на ділянці балки :
(8.111) |
Для побудови епюри необхідно обчислити кути повороту на границях цієї ділянки:
Диференціюючи (8.110), одержуємо рівняння кутів повороту на ділянці :
(8.112) |
Кути повороту на границях цієї ділянки вже відомі. Таким чином, можна побудувати епюру .
На границях ділянки відкладаємо ординати; вершини цих ординат відповідно до рівняння (8.112) з’єднуємо параболічною кривою. Так як , то парабола повинна бути звернена опуклістю вниз. У точці А дотична до епюри повинна бути паралельна осі абсцис. Аналогічно проводимо побудову на ділянці .
Для побудови епюри прогинів обчислимо найбільший прогин. Він має місце в перерізі, де . Запишемо цю умову:
звідки
У цій точці прогин має екстремальне значення. Обчислимо величину стріли прогину, підставивши у вираз (8.110) :
Для побудови епюри прогинів необхідно ще обчислити прогин у точці С, який являється точкою перегину для епюри прогинів (у цій точці на епюрі моментів міняється знак). Вважаючи в (8.110) що , одержимо
Відкладаємо обчислену ординату вниз від базисної лінії. Відповідно до рівнянь (8.109) і (8.110) епюра прогинів повинна бути обкреслена на обох ділянках кубічними параболами. На ділянці момент тому парабола звернена тут увігнутістю вгору; на ділянці момент і парабола буде звернена ввігнутістю вниз.
Перейдемо до підбору перерізу балки з умови жорсткості. Умова жорсткості (8.106) приймає вид
Звідки необхідний момент інерції
По сортаменту знаходимо двотавр № 30а, момент інерції якого
Необхідно перевірити міцність обраного двотавру № 30а, момент опору якого
Обчислюємо найбільшу напругу:
Отже, міцність балки забезпечена.
Розрахунок балок із проміжним шарніром. Універсальні рівняння пружної лінії й кутів повороту були виведені з розгляду ділянки (мал.8.46), на якому балка не має проміжних шарнірів, що порушують плавність вигнутої осі. Тому, розглядаючи всю балку в цілому й залишаючи загальний для всіх ділянок початок координат, застосувати ці рівняння до безпосереднього визначення переміщень на ділянці балки, розташованій правіше шарніру , не можна. У цьому випадку визначити переміщення можна, лише розглядаючи балку по частинам (окремо частина й окремо — ).
Можна, однак, показати спосіб узагальнення рівнянь методом початкових параметрів і для випадку балки із проміжним шарніром (мал.8.46). Запишемо диференціальні рівняння для ділянок і , і двічі їх проінтегруємо:
для ділянки
(8.113) | |
(8.114) |
для ділянки
(8.115) | |
(8.116) |
Внаслідок наявності шарніра, кути повороту ліворуч і праворуч від точки будуть відрізнятися на деякий кут . Для того, щоб встановити зв’язок між постійними й , складемо умови з’єднання ділянок у точці :
(8.117) | |
(8.118) |
Підставляючи в рівності (8.117) і (8.118) відповідні значення й з виразів (8.114), (8.116) і (8.113), (8.115), при одержимо
(8.119) | |
(8.120) |
З рівностей (8.119) і (8.120) знаходимо
(8.121) |
Підставивши рівність (8.119) і (8.121) у рівняння (8.115) і (8.116), зможемо записати рівняння кутів повороту й прогинів на ділянці в такому виді:
(8.122) | |
(8.123) |
Так як було встановлено, що лівіше шарніра S довільні постійні С и D на всіх ділянках однакові і являють собою відповідно кут повороту й прогин на початку координат, заключимо, що для перерізів правіше шарніра в універсальне рівняння прогинів варто ввести додатковий член , a у рівняння кутів повороту — . Отже, при наявності шарніра ліворуч від розглянутої ділянки рівняння (8.92) для цієї ділянки приймає вид
(8.124) |
Взаємний кут нахилу є додатковою невідомою величиною універсальних рівнянь для й . Як і початкові параметри й , його визначають із опорних умов.
Залежно від виду розрахункової схеми балки можливі два основних варіанти опорних умов:
- Умова рівності нулю прогинів на правій опорі (мал.8.50). Звідси визначають тільки кут .
Рис.8.50. Перший варіант опорних умов
- Умови рівності нулю прогинів на опорах В і С (мал.8.51). Кут тут визначається разом зі шляхом рішення системи двох алгебраїчних рівнянь.
Рис.8.51. Другий варіант опорних умов
Приклад 8.7. Для балки (мал.8.52) побудувати епюри Підібрати двотавровий переріз з умов міцності й жорсткості, якщо
Рішення
Обчисливши опорні реакції й , будуємо епюри й . Для побудови епюр і необхідно, насамперед, обчислити їхні значення на границях всіх ділянок.
Запишемо універсальне рівняння пружної лінії (8.124) для вкрай правої ділянки балки , врахувавши, що геометричні початкові параметри й дорівнюють нулю. Одержимо:
(8.125) |
Рис.8.52. До прикладу 8.7
Значення взаємного кута повороту перерізів у шарнірі знайдемо з умови рівності нулю прогину в перерізі над правою опорою :
Рівняння для прогину в перерізі одержимо з виразу (8.125), викресливши останній доданок і поклавши :
звідки
(8.126) |
Підставивши (8.126) у рівняння (8.125), одержимо остаточне рівняння пружної лінії для ділянки балки :
(8.127) |
З рівняння (8.127) можна одержати рівняння для всіх інших ділянок.
Рівняння кутів повороту для всіх ділянок одержимо диференціюванням рівнянь пружної лінії на відповідних ділянках.
На мал.8.52 наведені епюри прогинів і кутів повороту.
Перейдемо до підбору розрізу балки. Найбільший згинальний момент Із умови міцності
(8.128) |
По сортаменту приймаємо двотавр № 45, для якого
Перевіримо, чи виконується умова жорсткості. Знаходимо чисельне значення стріли прогину:
Умова жорсткості (8.106) не задовольняється.
Отже, розміри поперечного перерізу балки необхідно збільшити, виходячи з умови жорсткості.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter