Приклад розрахунку прямокутної пластини
Приклад. Прямокутна пластина з розмірами й , товщиною , шарнірно обперта по двох сторонах (рис. 12.4,а), навантажена рівномірним тиском ; матеріал пластини — сталь; ; . Визначити напруження і прогин.
Рис. 12.4. До прикладу 12.1
Реакції опор і згинальний момент визначається так само, як для звичайних балок. Найбільший згинальний момент виникає в середині прольоту; Цей момент, віднесений до одиниці ширини пластини,
Відповідне максимальне напруження
Згинальний момент і нормальне напруження в поперечному напрямку в раз менше і дорівнює відповідно:
Прогин обчислимо по диференційному рівнянню зігнутої поверхні (12.11):
Замість моменту в це рівняння підставлений вираз моменту в поточному перетині:
Після дворазового інтегрування одержимо
Постійні інтегрування A і B визначимо по граничних умовах: при й при . Відповідно до першої умови, , тоді по другій умові .
Остаточно
Максимальний прогин
де
Досліджуємо характер напружено-деформованого стану біля бічних крайок пластини. Розглянутий стан представимо як результат накладення двох станів, показаних на рис. 12.4, б і в.
У стані, зображеному на рис. 12.4, б, крім заданого тиску p, по бічних крайках пластини прикладений момент такої ж величини і розподілений по такому ж закону, як момент при циліндричному згинанні. У стані, зображеному на рис. 12.4, в, пластина навантажена одним тільки моментом зворотного напрямку. При накладенні цих двох станів моменти на бічних крайках пластини взаємно погашаються і виходить задана схема навантаженя. Напружений стан при навантаженні за схемою, представленою на рис. 12.4, б, повністю відповідає знайденому рішенню; отже, у цьому випадку виникає, циліндричний згин у чистому виді. У стані, зображеному на рис. 12.4, в, моменти , прикладені по бічних крайках, викликають згин у поперечному напрямку. Однак через те, що на закріплених краях вертикальні переміщення відсутні, пластина не може вільно викривлятися в поперечному напрямку, тому напруження в міру видалення від бічних крайок швидко загасають. У результаті дія моментів проявляється лише в тім, що бічні краї пластини трохи відгинаються долілиць; у середній же частині пластини дія моментів практично не позначається. На підставі викладеного можна укласти, що отримане рішення досить добре відбиває характер напруженого і деформованого станів пластини скрізь, за винятком областей, розташованих біля поздовжніх крайок.
Перейдемо до розгляду чистого згину пластин. Згин називається чистим, якщо поперечні сили в пластині відсутні. Чистий згин виникає при дії на вільну, незакріплену пластину моментів і , рівномірно розподілених по краях пластини (рис. 12.5, а).
Рис. 12.5. Чистий згин пластин
Припустимо спочатку, що на пластину діє тільки один момент (рис. 12.5, б). Оскільки скривлення пластини в поперечному напрямку нічим не стиснуто, пластину можна розглядати як сукупність окремих поздовжніх смужок, кожна з яких деформується як брус. Отже, у цьому випадку застосовні звичайні формули теорії згину бруса як для напружень
| (12.14) |
так і для кривизни в поздовжньому напрямку
| (12.15) |
На відміну від циліндричного згину при чистому вигині пластина викривляється також і в поперечному напрямку. Радіус кривизни поверхні в поперечному напрямку можна визначити, використовуючи залежність між деформаціями і у довільному шарі пластини. Тому що напружений стан одноосьовий, те
Підставивши в цю рівність
прийдемо до наступних залежностей:
| або | (12.16) |
Аналогічно визначають напруження і кривизну при навантаженні моментом .
При спільній дії моментів і напруження і кривизни підсумуються:
| (12.17) | |
| (12.18) |
Розглянемо деякі окремі випадки.
- Сферичний згин. Якщо моменти й однакові по величині, то
| (12.19) |
Неважко показати, що в цьому випадку кривизна пружної поверхні в будь-якому напрямку має однакові значення; отже, площина пластини, деформуючись, переходить у сферичну поверхню. Згинальний момент у будь-якому перетині, перпендикулярному серединної площини при сферичному згині, має те саме значення. Звідси виходить, що незалежно від форми контуру пластини в плані при навантаженні її країв згинальним моментом постійної інтенсивності серединна площина перетворюється в сферичну поверхню.
- Циліндричний вигин. Якщо , то
| (12.20) |
Пружна поверхня пластини має прямолінійні утворюючі, отже, площина пластини переходить у циліндричну поверхню.
Досліджуємо більш докладно загальний випадок чистого вигину пластини. Виділимо із пластини нескінченно малий елемент у вигляді тригранної призми (рис. 12.6, а). У двох гранях, перпендикулярних осям x і y, діють нормальні напруження і , обумовлені по рівняннях (12.17). У третій грані, розташованої під кутом до площини , виникають як нормальні, так і дотичні напруження. Величину цих напружень можна визначити по відомих формулах теорії плоского напруженого стану:
Підставимо в ці формули значення напружень й знайдемо
Напруження й , лінійно залежать від z. Отже, напруження можна привести до згинального моменту
| (12.21) |
а напруження — до крутного моменту
| (12.22) |
Рис. 12.6. Напружений стан при чистому згині
Моменти й показані на рис. 12.6, б. Найбільший крутний момент виникає в площадці під кутом до головних осей x і y:
Скривлення площини пластини в напрямку осей x і y характеризується радіусами кривизни й . Ці радіуси називаються головними радіусами кривизни; один радіус має максимальне, а інший — мінімальне значення. Радіус кривизни в напрямку, що становить кут з віссю x, має проміжне значення
| (12.23) |
Крутні моменти викликають деформацію крутіння площини пластини. Характер цієї деформації можна бачити на рис. 12.6, в, де зображена частина пластини, виділена під кутом у до осей x і y. Лінії ab і cd після деформації стають непаралельними.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
