Визначення переміщень у балках методом початкових параметрів (реферат)

Визначення переміщень у балках методом початкових параметрів

Визначення переміщень шляхом безпосереднього інтегрування диференціального рівняння пружної лінії у випадку балок з більшою кількістю ділянок зв’язано зі значними труднощами. Ці труднощі полягають не в інтегруванні диференціальних рівнянь, а в техніці визначення довільних постійних інтегрування — складанні й рішенні систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Так, якщо балка за умовами навантаження розбивається на  ділянок, то інтегрування диференціальних рівнянь для всіх ділянок балки дає  довільних постійних. Додавши до двох основних опорних умов балки  умов безперервного й плавного з’єднання всіх ділянок пружної лінії, можна скласти  рівнянь для визначення цих постійних.

Задача стає дуже трудомісткою вже при . Для зменшення великої обчислювальної роботи, пов’язаної з визначенням довільних постійних інтегрування, у цей час розроблений ряд методів. До них відноситься й метод початкових параметрів, що дозволяє при будь-якому числі ділянок звести рішення до відшукання всього двох постійних — прогину й куту повороту на початку координат.

Вивід загальних рівнянь і приклади їхнього застосування. Розглянемо деяку частину балки довжиною  (мал.8.46,а), провівши перерізи в точках К и L. На мал.8.46,б зображений цей відрізок, навантажений наступними навантаженнями які найбільш часто зустрічаються:

а) зосередженим моментом М у перерізі з абсцисою а;

б) зосередженою силою  в перерізі з абсцисою

в) навантаженням, розподіленим за законом трапеції від розрізу з абсцисою с до перерізу з абсцисою d, інтенсивністю

де k — тангенс кута нахилу  дотичної до епюри навантаження (мал.8.46,а):

г) крім того, по кінцях розглянутої частини балки прикладені поперечні сили й згинальні моменти, що заміняють дію подумки відкинутих частин балки.

Рис.8.46. Метод початкових параметрів

При виводі рівнянь напрямки всіх навантажень виберемо такими, щоб вони викликали позитивні згинальні моменти. Помітимо, що на розглянутому відрізку може бути кілька зосереджених моментів і зосереджених сил, а також кілька ділянок розподіленого навантаження.

Щоб різко скоротити число невідомих довільних постійних, звівши рішення до визначення тільки двох постійних інтегрування, необхідно забезпечити рівність відповідних постійних на всіх ділянках балки. Ця рівність може бути тільки тоді, коли в рівняннях моментів, кутів повороту й прогинів при переході від ділянки до ділянки повторюються всі члени попередньої ділянки, а доданки які знову з’являються звертаються в нуль на лівих границях своїх ділянок. Для забезпечення цих умов при складанні диференціальних рівнянь пружної лінії і їхніх інтегрувань повинні дотримуватися наступні правила:

1. Початок координат необхідно вибирати в крайній лівій точці розглянутої балки й робити його загальним для всіх ділянок.
2. Вираз для згинального моменту М(х) складати, обчислюючи моменти сил, розташованих ліворуч від розглянутого перерізу.
3. При включенні в рівняння зовнішнього зосередженого моменту М його потрібно множити на множник , який дорівнює одиниці, де а — абсциса точки, де прикладений момент М.
4. В випадку обриву розподіленого навантаження (наприклад, у перерізі мал.8.46,б) її продовжують до кінця розглянутого перерізу, а для відновлення дійсних вантажних зусиль уводять компенсуюче навантаження зворотного напрямку. «Додаткове» і «компенсуюче» навантаження будемо показувати на кресленнях штриховими лініями.
5. Інтегрування рівнянь на всіх ділянках варто робити, не розкриваючи дужок.

Вибравши початок координат у крайній лівій точці розглянутого відрізка балки (у точці С), складемо вираз для згинального моменту М(х) у довільному перерізі крайньої правої (V) ділянки з дотриманням пунктів 2 — 4 зазначених правил. При цьому вмовимося розбивати трапецеїдальне навантаження на трикутну й рівномірно розподілену. Згинальний момент запишеться так:

Розглядаючи креслення балки (мал.8.46,б), можна переконатися в тім, що вираз для згинального моменту на IV ділянці легко одержати з рівняння (8.76), викреслюючи члени, які враховують навантаження, що з’являється лише на V ділянці.

Дійсно, вираз для згинального моменту на IV ділянці має вигляд

Коефіцієнти  можуть бути тільки позитивними величинами. Якщо виявиться, що  то це означає, що відповідне навантаження розташоване праворуч від розглянутого перерізу, і такий доданок повинний бути викреслений з рівняння.

Згинальний момент  і поперечна сила , що діють у перерізі, що збігається з початком координат, називаються статичними початковими параметрами.

Складемо диференціальне рівняння пружної лінії на ділянці V:

Інтегруємо обидві частини рівності, не розкриваючи дужок. Тоді одержуємо

Інтегруючи вдруге, знаходимо

Диференціальне рівняння пружної лінії на  IV ділянці запишеться так:

Проінтегрував його двічі, одержимо

Тепер можна показати, що дотримання правил складання й диференціювання рівнянь пружної лінії забезпечило рівність довільних постійних на IV і V ділянках. Дійсно, поклавши у виразах (8.79) і (8.82)  з умов плавного з’єднання ділянок одержимо

Отже,

Поклавши  в рівняннях (8.80) і (8.83), з умови безперервного з’єднання ділянок  знайдемо, що й

Виконавши аналогічні операції для інших ділянок, встановлюємо, що відповідні довільні постійні рівні на всіх ділянках розглянутого відрізку балки:

Геометричний зміст цих двох постійних інтегрування встановимо, розглядаючи рівняння кутів повороту й прогинів на першій ділянці. Викреслюючи в рівняннях (8.79) і (8.80) доданки, що враховують навантаження, прикладені на  ділянках, одержимо рівняння для першої ділянки:

Підставивши в ці рівняння  знайдемо

Отже, довільні постійні  й  відповідно дорівнюють куту повороту й прогину на початку координат. Прогин  і кут повороту  є початковими параметрами.

Підставивши значення  й  у рівняння (8.80), одержимо загальний вираз для прогину в довільному перерізі балки:

Для випадку декількох моментів і сил, а також декількох ділянок розподіленого навантаження рівняння записують у наступній формі:

Рівняння  (8.92) за звичай називають універсальним рівнянням пружної лінії. При цьому мають на увазі, що це рівняння застосовне для будь-яких розрахункових схем балок.

Диференціюючи рівняння (8.92), одержуємо рівняння кутів повороту перерізів:

У рівняння (8.92) і (8.93) підставляють тільки ті навантаження, які розташовані ліворуч від розглянутого перерізу. Знаки доданків визначаються знаком відповідних силових факторів.

Таким чином, визначення переміщень по методу початкових параметрів зводиться, у першу чергу, до визначення  величин початкових параметрів  Статичні початкові параметри  знаходять із умов рівноваги балки. Геометричні початкові параметри визначають із умов на опорах. Рівняння (8.92) і (8.93), виведені для довільного відрізку, придатні й для всієї балки в цілому. Початок координат, як правило, будемо вибирати в крайній лівій точці балки.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter