Метод Рітца
Задамося декількома функціями f1(x), f2(x),…, fn(x), кожна з яких задовольняє геометричним граничним умовам задачі, і утворимо функцію f(x) як суму
f(x) = C1f1(x) +C2f2(x)+… +Cnfn(x) (272)
Якщо цю функцію підставити у формулу Релея
, (273)
то результат буде залежати від конкретного вибору коефіцієнтів С1, С2, …, Сn.
Метод Рітца оснований на простій ідеї: коефіцієнти С1, С2, …, Сn повинні бути обрані так, щоб обчислення по формулі (273) дало найменше значення для w 2. З теореми Релея випливає, що такий вибір буде найкращим (при даній системі функцій fі).
Умови мінімуму w 2 мають вид
, (i = 1 , 2,… , n),
тобто:
.
Розділивши це рівняння на інтеграл і з огляду на (273), одержимо
(i = 1 , 2,… , n), (274)
Рівняння (274) однорідні і лінійні щодо С1, С2, …, Сn і їхнє число дорівнює числу членів виразу (272). Прирівнюючи нулю визначник, складений із коефіцієнтів при С1, С2, …, Сn, одержимо частотне рівняння. Це рівняння не тільки дає гарне наближення для нижчої частоти, але також визначає (хоча і з меншою точністю) значення вищих частот; при цьому можна буде обчислити стільки частот, скільки додатків прийнято у виразі (272).
Метод Рітца, як і метод Релея, дозволяє вирішити задачу у випадках розривних функцій EJ і m і коли ці функції подані різними аналітичними виразами на різних ділянках.
Іноді та ж ідея використовується в іншій формі. Наприклад, при дослідженні поперечних коливань турбінних лопаток задаються функцією f(x) = axs (початок координат у закріпленому кінці). Застосовуючи потім формулу Релея (273), одержують частоту у виді залежності від показника ступеня s. Потім за допомогою числових розрахунків визначають значення s, якому відповідає найменша частота. Це дозволяє досить надійно визначити як форму, так і частоту коливань першого тону.
Приклад 20. Визначити методом Рітца нижчу власну частоту поперечних коливань консолі перемінного перетину, що має товщину, рівну одиниці; висота змінюється за лінійним законом
; ;
( – довжина консолі).
Рішення.
Точне значення нижчої частоти такої консолі обчислено Кирхгофом:
.
Для наближеного рішення приймаємо
Кожний член цього розкладання задовольняє граничним умовам задачі
, при х= .
Якщо обмежитися одним членом розкладання, то за методом Релея
,
при цьому помилка складає біля 3%.
Щоб одержати краще наближення, візьмемо два члени розкладання і, підставивши їх у вираз (274), одержимо
.
Диференціюючи цей вираз по С1 і С2 по черзі, приходимо до системи рівнянь
.
Прирівнюючи нулю визначник, складений із коефіцієнтів цих рівнянь, одержимо частотне рівняння, менший корінь котрого
,
що дає помилку 0,1%.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
