Безмоментна теорія оболонок обертання. Деякі геометричні властивості
поверхонь обертання. Умови існування безмоментного напруженого стану
оболонки
Деякі геометричні властивості поверхонь обертання
Оболонкою називається тіло, обмежене двома близькими криволінійними
поверхнями, відстань між якими мала в порівнянні з розмірами самих
поверхонь (рис. 13.1).
а б
Рис. 13.1. Оболонки
Форми оболонок досить різноманітні і розрізняються видом серединної
поверхні, тобто поверхні, рівновіддаленної від внутрішніх і зовнішньої
лицьових поверхонь. Характерною рисою оболонок є те, що вони мають
неплоску серединну поверхню. Найбільше поширення одержали оболонки,
серединна поверхня яких являє собою поверхня тіла обертання (циліндр,
сфера, конус і т.д.). Оболонки інших видів складніше; у цьому курсі вони
не розглядаються.
Оболонка обертання представлена на рис. 13.1. Лінії, що утворяться при
перетинанні поверхні площинами, що проходять через вісь обертання,
називаються меридіанами. Один мерідіан на кресленні позначений АМВ.
Лінії, перпендикулярні меридіанам, являють собою окружності і
називаються паралелями.
— від осі обертання), а також декартови координати
Поверхня обертання може бути задана аналітично, у явній формі
,
або в параметричній формі
. Отже, остання буде центром кривизни.
називають головними радіусами кривизни поверхні обертання.
.
залежністю
. Для того щоб вони в сукупності визначали поверхню обертання,
необхідно, щоб вони підкорялися певній залежності. Із креслення рис.
13.1, б виходить
або, з огляду на рівність (13.1),
.
, одержимо
.
Тоді рівність (13.2) варто записати у вигляді
або
(13.3)
Співвідношення (13.2) і (13.3) являють собою окремий випадок загальних
співвідношень Кодацци – Гаусса, яким повинні задовольняти радіуси
кривизни всякої поверхні.
При вивченні властивостей поверхонь важливе значення має гауссова
кривизна
поверхня має ввігнуті меридіани (рис. 13.2, в).
а б в
Рис. 13.2. Оболонки різної гауссової кривизни
).
Знак гауссової кривизни визначає тип диференціальних рівнянь теорії
оболонок. Найбільш повно розроблена теорія оболонок позитивної і
нульової гауссової кривизни.
Умови існування безмоментного напруженого стану оболонки
При навантаженні оболонки можливі різні види напруженого стану. В
оболонці може виникати тільки розтягання або стиск без згину стінки
(безмоментний стан); розтягання разом з згинанням (змішаний стан) або
тільки згин без розтягання (моментний стан).
Прикладом безмоментного стану може служити напружений стан, що виникає в
сферичній оболонці під дією рівномірного внутрішнього тиску.
Як приклад змішаного напруженого стану можна вказати стан, що виникає в
оболонці при навантаженні її розподіленим моментом (рис. 13.3).
Рис. 13.3. Змішаний напружений стан
l
?
j
jAE
”y?
gd?d одержують радіальні зсуви, у зв’язку із чим серединна поверхня
оболонки розтягується в окружному напрямку. При деформації подібного
виду стінка оболонки одночасно випробовує згинання і розтягання.
Моментний напружений стан може виникнути в деяких випадках при
несиметричному навантаженні оболонки. На рис. 13.4 зображений
тонкостінний циліндр із вільними торцями. При навантаженні такого
циліндра силами, перпендикулярними його осі, він буде деформуватися
майже без розтягання серединної поверхні так, як показано на рисунку
штриховими лініями. Навантаження в цьому випадку сприймаються винятково
за рахунок опору згинання. Якщо ж згинальна жорсткість буде досить мала,
то циліндр перетвориться в механізм. Це варто розуміти в тому розумінні,
що його можна буде деформувати, майже без витрати енергії. Так як
переміщення на кожному із двох торців можуть бути задані незалежно, то
такий циліндр може бути уподібнений механізму із двома ступенями волі.
Якщо на один з торців накласти зв’язки, що забороняють перекручування
форми окружності, то циліндр перетвориться в механізм із одним ступенем
волі. При забороні перекручування форми окружності, обох торців
деформація циліндра без розтягання серединної поверхні буде неможлива.
Рис. 13.4. Тонкостінний циліндр із вільними торцями
Те ж саме можна сказати й про оболонку обертання з твірною довільної
форми. Кінцева або сферична оболонки, відкриті по обидва боки (рис.
13.2, а, б) при досить малої згинальної жорсткості подібні до механізму
із двома ступенями волі.
Той же конус або сфера, замкнуті у вершині, еквівалентні механізму з
одним ступенем волі.
Переваги оболонки як конструктивного елемента реалізуються в тому
випадку, коли її стінка працює на розтягання (стиск) в умовах
безмоментного напруженого стану або стану, близького до безмоментного.
Моментний стан доцільний тільки в тому випадку, коли оболонка
використовується як гнучкий елемент, що одержує в процесі роботи значні
пружні деформації (наприклад, гнучка ланка хвильової зубчастої
передачі).
– по дотичній до окружності).
Рис. 13.5. Розподіл нормальних напружень розтягання і згинання
— товщина стінки).
На практиці можуть зустрітися наступні випадки:
малий, тобто
.
У цьому випадку напруженнями згинання можна зневажити в порівнянні з
напруженнями розтягання, тобто вважати, що згинальні моменти в стінці
оболонки дорівнюють нулю. Це випадок безмоментного напруженого стану.
мають однаковий порядок. Це випадок змішаного стану, коли оболонка
працює одночасно на згин і розтягання.
. У цьому випадку розтяганням серединної поверхні, можна зневажити і
вважати, що оболонка випробовує моментний стан.
. Оболонки з малою товщиною стінки не можуть сприймати згинальний момент
внаслідок досить малої згинальної жорсткості. Вони не можуть також
сприймати напруження стискання, тому що на них утворяться складки.
Розрахунок оболонок цього типу має деякі особливості. У цьому курсі такі
оболонки не розглядаються.
Для одержання безмоментного стану в оболонці кінцевої товщини необхідні
наступні умови:
1. Форма оболонки повинна бути плавною, не повинно бути розривної зміни
радіусів кривизни.
2. Навантаження повинні бути рівномірними або плавно змінюваться. Не
повинно бути зосереджених сил або моментів, що викликають значну зміну
кривизни.
3. Краю оболонки повинні бути закріплені таким чином, щоб реактивні
сили не мали значної поперечної складової, а також, щоб не виникали
реактивні моменти.
4. При навантаженні оболонки несиметричним навантаженням повинні бути
передбачені зв’язки, що перешкоджають виникненню чисто моментного стану.
Оболонка не повинна мати вільних відкритих торців.
Варто помітити, що навіть якщо ці умови не повністю виконуються, і в
оболонці виникає розтягання і згинання, безмоментна теорія не втрачає
свого значення, тому що вже на невеликій відстані від зони згину (від
місця додатка зосереджених сил або стрибкоподібної зміни радіусів
кривизни) напружений стан звичайно можна розглядати як безмоментне.
На краях оболонки, де прикладені розподілені поперечні сили або моменти,
напружений стан можна розглядати як суму безмоментного стану і так
званого крайового ефекту, тобто місцевого згинання стінки оболонки біля
краю.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
