Динамічний метод рішення задач стійкості. Методика урахування сил, що
стежать. Фундаментальні рішення для поперечних коливань із урахуванням
поздовжньої сили
Динамічний метод розв’язання задач стійкості
Всі навантаження на пружні системи умовно можна розділити на
консервативні й неконсервативні. До консервативних навантажень
відносяться так звані «мертві» сили, коли їхня лінія дії переміщується
разом з конструкцією тільки паралельно первісному напрямку. Приклади
розрахунку на стійкість систем при «мертвих» силах по алгоритму МГЕ
представлені вище й проблеми їхнього врахування багато в чому вирішені.
Цього не можна сказати про неконсервативні сили. Системи з
неконсервативними силами широко використовуються в житті сучасного
суспільства. До таких систем можна віднести системи із внутрішніми
джерелами енергії, тобто ракети, літаки, космічні орбітальні станції,
бурові вишки й платформи, автомобілі, кораблі, підводні човни, турбіни,
двигуни внутрішнього згорання, металорізальні верстати, різні крани,
прилади й т.д.
Якщо консервативні задачі стійкості можуть бути розв’язані статичним
методом, то неконсервативні задачі розв’язуються тільки динамічним
методом (236). Основним елементом динамічного методу є розв’язок задачі
Коші для поперечних коливань стержня з урахуванням поздовжньої сили. На
відміну від статичного методу, критична сила в динамічному методі
визначається в точці, де стають рівними (зливаються) дві сусідні частоти
власних коливань.
З цією метою в програму розрахунку вводиться початкове значення
стискаючої сили й фіксуються частоти (мінімум дві) власних коливання.
Далі значення стискаючої сили збільшується й відслідковується зміна
частот. Процес триває доти, поки з певною точністю дві сусідні частоти
стануть рівними. Значення стискаючої сили при цьому буде критичним.
Необхідність застосування динамічного методу істотно ускладнює
розв’язання неконсервативних задач стійкості. Тут потрібний досить
ефективний метод визначення частот власних коливань. Серед інших методів
щодо цього виділяється МГЕ. Він дозволяє одержувати точний спектр частот
(усуває недолік МКЕ), а в трансцендентному частотному рівнянні відсутні
точки розриву 2-го роду (усуває недолік методу переміщень). Додатковими
позитивними факторами є проста логіка формування динамічної матриці
стійкості, відсутність операцій множення, обертання й додавання матриць,
гарна стійкість чисельних операцій при обчисленні визначника й т.п.
). Далі аналізу піддаються зміни частот власних коливань. Розглянемо
особливості врахування стежачих сил.
Методика врахування стежачих сил
Граничні умови для різних варіантів поводження стискаючих сил є
нелінійними й лінеаризуються з урахуванням малості відповідних
переміщень, тобто справедливості рівностей
й нормаллю до осі стержня (рис. 4.7).
Виділимо практично важливі випадки поводження навантаження.
1 Сила F слідує за кутом повороту перерізу (задача М.Бека) ?236? (рис.
4.7,а).
j?
Така сила створюється реактивним потоком рідини або газу й відноситься
до неконсервативних сил. Граничні умови досить прості
; ; (4.7)
2 Сила F має фіксовану лінію дії (задачая проф.В.И.Реута) ?236?
(рис.4.7,в).
Така сила виникає при дії домкрата, у поршневих двигунах, у різних
механізмах з напрямними пристроями.
Це інший приклад неконсервативної сили. У граничному перерізі стержня
виникають згинальний момент і поперечна сила
(4.8)
Рис. 4.7
3 Сила F має лінію дії, що проходить через фіксовану точку (рис. 4.7,с).
Таке поводження навантаження може бути викликано застосуванням тросів і
відтяжок. Сила відноситься до консервативних. Вона накладає на пружну
систему в деформованому стані зв’язок у вигляді власної горизонтальної
проекції (вертикальна проекція враховується як параметр F
диференціального рівняння). Система при цьому може стати невільною. Тут
(4.9)
4 ?Мертва сила? (рис. 4.7, d). Будучи консервативною, вона обмежує
рухливість пружної системи. Крайові умови будуть у вигляді
(4.10)
При аналізі стійкості пружних систем необхідно використовувати
вищевказані граничні умови в рівняннях рівноваги й спільності переміщень
граничних точок (вузлів) конструкції. Особливо відзначимо той факт, що
кожний варіант поводження стискаючих сил буде мати свій набір ненульових
компенсуючи елементів у матриці (свій варіант топологічної матриці). У
цьому полягає відмінність аналітичної ідентифікації стискаючих сил у МГЕ
від МКЕ й інших методів.
Відзначимо також, що для сил по рис. 4.7, з, d основними формами втрати
стійкості є вигинаючі форми. Для стежачої сили по рис. 4.7, а стержень
втрачає стійкість у формі флатера, коли амплітуди коливань необмежено
ростуть. Якщо не прийняти відповідних заходів щодо ліквідації флатера,
то конструкція досить швидко руйнується.
Втрата стійкості у формі дивергенції (монотонний відхід системи від
положення рівноваги) характерна для схеми по рис. 4.7, в.
Оскільки основою математичної моделі динамічного методу є фундаментальні
функції, то розглянемо побудову розв’язків для ряду важливих випадків
поперечних коливань стержнів.
4.5.2 Фундаментальні розв’язки для поперечних коливань із урахуванням
повздовжньої сили
При складанні відповідного диференціального рівняння враховуються сили
інерції розподіленої маси й добавка згинального моменту від повздовжньої
сили. Застосувавши метод Фур’є поділу змінних, диференціальне рівняння
поперечних коливань призматичного стержня з врахуванням повздовжньої
стискаючої сили в амплітудному стані прийме вигляд
;
(4.11)
По алгоритму п.1.3 рівняння типу (1.40) даного випадку запишеться в
такий спосіб
(4.12)
де фундаментальні ортонормовані функції мають вигляд
; ; ;
; ; ; ;
; ; ;
; . (4.13)
Вирази (4.13) при переходять у функції А.Н.Крилова (3.11).
Динамічні моделі пружних систем формуються, виходячи із заданих
розрахункових схем. Просторові моделі повинні включати блоки рівнянь
вигину, крутіння, розтягання й зрушення, тобто необхідно формувати
рівняння типу (2.23). Плоскі моделі стійкості спрощуються через
відсутність крутіння. У розрахунковій практиці часто зневажають
зрушенням, інерцією обертання й поздовжніх переміщень, що йде в запас
стійкості (307).
У цьому зв’язку нижче формуються й аналізуються найбільш прості
динамічні моделі стійкості пружних систем на основі рівнянь вигину
(3.10) і (4.12) з додаванням нормальних сил. Врахування стежачих сил,
виконується топологічною матрицею .
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
