Поняття про розрахунок циліндричних котків. Поняття про дію зосередженої
сили на пружний півпростір
Поняття про розрахунок циліндричних котків
Розрахунок циліндричних котків являє собою задачу про стискання тіл, що
стикаються по поверхні кінцевих розмірів. Така задача ставиться до
розряду контактних. Вона зустрічається при розрахунку опорних частин
мостів, естакад, шлюзових воріт, при вивченні місцевих напружень у
колесах рухомого составу, у головках залізничних рейок.
(рис. 4.14).
Рис. 4.14. Дотичні циліндри
Внаслідок деформування під дією цих сил торкання циліндрів відбудеться
по деякій поверхні у вигляді вузької смуги, називаною поверхнею тиску.
Її ширина завжди мала в порівнянні з розмірами циліндрів, тому
розглянуту задачу можна вирішувати як плоску задачу теорії пружності.
Виріжемо в одного із циліндрів диск товщиною, рівній одиниці. Якщо взяти
до уваги дійсну геометричну форму дотичних тіл, то визначення напружень
і деформації в області контакту виявиться неможливим. Тому через малість
ширини поверхні контакту в порівнянні з діаметрами циліндрів дотичні
тіла заміняють двома пружними напівплощинами. Сили ж тиску, що виникають
на поверхні контакту, уважають прикладеними до кожної напівплощини.
можна прийняти за законом напівеліпса. Згідно рис. 4.15,
— половина ширини смуги тиску.
Рис. 4.15. Розподіл тиску по лінії контакту
, відповідно до першої формули (4.21), становить
,
а напруження від тиску по всій площі контакту
.
з формули (а) і виконаємо інтегрування:
.
, що доводиться на одиницю довжини твірної, то
.
з формули (а) і виконуючи інтегрування, знаходимо
.
приймає вид
.
;
,
— модуль пружності матеріалу циліндрів.
Матеріал дотичних тіл у центрі площі контакту перебуває в умовах
об’ємного напруженого стану і тому може безпечно працювати при больших
стискаючих напруженнях. Так, наприклад, сталь залізничної рейки витримує
тиск порядку 3500-4000 МПа. При цьому на поверхні контакту розрахункові
напруження близькі до границі текучості, а усередині дотичних тіл навіть
перевищують його.
Поняття про дію зосередженої сили на пружний півпростір
¶
B
, прикладеної по нормалі до цієї площини (рис. 4.16), ставиться до
просторової задачі теорії пружності і є більш складною, чим задача про
дію сили на границі напівплощини (див. 4.6). Її рішення зручно будувати
в циліндричній системі координат.
Рис. 4.16. Дія сили на пружний півпростір
.
Рішення розглянутої задачі належить Ж. Буссінеску. Інтегрування системи
диференціальних рівнянь рівноваги й рівнянь нерозривності деформацій
Бельтрамі – Мітчелла в циліндричній системі координат дає наступний
результат:
.
.
Рис. 4.17. Рішення Ж. Буссінеска
, обкресленої з початку координат. На підставі принципу Сен-Венана така
заміна позначиться на розподілі напружень тільки поблизу початку
координат.
(рис. 4.18) відношення напружень
. Величина цього напруження
.
Рис. 4.18. Напруження на горизонтальній площадці
і касається границі площини на початку координат (рис. 4.18), то
і повне напруження
.
Таким чином, у всіх точках розглянутої сфери повне напруження на
горизонтальних площадках постійне.
Для визначення переміщень у півпросторі необхідно напруження (а)
підставити у формули закону Гука, виражені в циліндричній системі
координат, і знайти деформації. Потім треба проінтегрувати геометричні
співвідношення Коші в циліндричній системі координат, у результаті чого
одержимо наступні складові переміщень:
.
прагнуть до нуля.
)
.
Ця формула справедлива у всіх точках, за винятком малої області в
початку координат.
Рішення, отримане для зосередженої сили, можна поширити на навантаження,
розподілене по деякій площі граничної площини.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
