Правило Верещагіна. Основні варіанти перемножування епюр.
Правило Верещагіна
, що стає досить трудомістким уже при двох-трьох ділянках розбивки в
балках і особливо — у рамах.
Виявляється, що від цього недоліку можна піти, якщо безпосереднє
інтегрування у формулах Мору замінити так називаним перемножуванням
епюр. Така заміна можлива в тих випадках, коли хоча б одна з
перемножуваних епюр є прямолінійною. Цій умові відповідають усі системи,
що складаються з прямолінійних стрижнів. Дійсно, у таких системах епюра,
побудована від узагальненої одиничної сили, завжди буде прямолінійною.
Спосіб обчислення інтеграла Мору шляхом заміни безпосереднього
інтегрування перемножуванням відповідний епюр називається способом (або
правилом) Верещагіна і полягає в наступному: щоб перемножити два епюри,
з яких хоча б одна є прямолінійної, потрібно площа однієї епюри (якщо є
криволінійна епюра, те обов’язково її площа) помножити на ординату інший
епюри, розташовану під центром ваги першої.
Доведемо справедливість цього правила.
відповідає одиничному навантаженню і є лінійною.
.
Рис.11.9. Правило Верещагіна
щодо осі ПРО – ПРО1, при цьому
, тоді
одержимо
(11.20)
Вираження (11.20) визначає результат перемножування двох епюр, а не
переміщення. Щоб одержати переміщення, цей результат потрібно розділити
на твердість, що відповідає внутрішнім силовим факторам, що коштують під
знаком інтеграла.
Основні варіанти перемножування епюр
Очевидно, що розмаїтість прикладених навантажень і геометричних схем
конструкцій приводить до різних, з погляду геометрії, що перемножуються
епюрам. Для реалізації правила Верещагіна потрібно знати площі
геометричних фігур і координати їхніх центрів ваги. На рис.11.10
представлені деякі основні варіанти, що виникають у практичних
розрахунках.
Для перемножування епюр складної форми їх необхідно розбивати на
найпростіші. Наприклад, для перемножування двох епюр, що мають вид
трапеції, потрібно одну з них розбити на трикутник і прямокутник,
помножити площа кожного з них на ординату другий епюри, розташовану під
відповідним центром ваги, і результати скласти. Аналогічно надходять і
для множення криволінійної трапеції на будь-яку лінійну епюрі.
Якщо зазначені вище дії проробити в загальному виді, то одержимо для
таких складних випадків формули, зручні для використання в практичних
розрахунках (рис.11.11). Так, результат перемножування двох трапецій
(рис.11.11,а)
Рис.11.10. Перемножування епюр
По формулі (11.21) можна перемножити й епюри, що мають вид
“перекручених” трапецій (рис.11.11,б), але при цьому добуток ординат,
розташованих по різні сторони від осей епюр, враховується зі знаком
мінус.
Якщо одна з перемножуваних епюр обкреслена по квадратній параболі (що
відповідає навантаженню рівномірно розподіленим навантаженням), то для
перемножування з другою (обов’язково лінійної) епюрою її розглядають як
суму (рис.11.11,в) або різниця (рис.11.11,г) трапецєідальної і
параболічної епюр. Результат перемножування в обох випадках визначається
формулою
(11.22)
при цьому визначається по-різному (рис.11.11, в, г).
Рис.11.11. Перемножування трапецій
Можливі випадки, коли жодна з перемножуваних епюр не є прямолінійної,
але хоча б одна з них обмежена ламаними прямими лініями. Для
перемножування таких епюр їх попередньо розбивають на ділянки, у межах
кожного з яких принаймні одного епюра є прямолінійною.
Розглянемо використання правила Верещагіна на конкретних прикладах.
Приклад. Визначити прогин у середині прольоту і кут повороту лівого
опорного перетину балки, навантаженої рівномірно розподіленим
навантаженням (мал.5.12,а), способом Верещагіна.
, мал.5.12,г).
Прогин балки в середині прольоту
.
1/4
ae
jv
&?DE
обмежена ламаною лінією. На неприпустимість такого підходу уже
вказувалося вище.
обмежена прямою лінією:
Цей результат також збігається з результатом, отриманим раніше методом
Мора (приклад 5.1).
Рис.5.12. До прикладу 5.3
Приклад. Визначити горизонтальне і вертикальне переміщення точки А в
рамі (мал.5.13,а).
показані на мал.5.13,г,е.
д е
Рис.5.13. До прикладу 5.4
Горизонтальне переміщення точки А
помножений на кожну з цих фігур. На ділянці ВР криволінійна трапеція
розділена на криволінійний трикутник і прямокутник, а для перемноження
епюр на ділянці СД використана формула (5.21).
), а вправо.
Вертикальне переміщення точки А
Тут знак ” – ” означає, що точка А переміщається вниз, а не нагору.
, є безрозмірними.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
