Крутіння тонкостінних нерозрізних балок і рам
До числа простих видів опорів, що мають важливе практичне значення,
відносять крутіння. Розглянемо приклади розрахунку тонкостінних
нерозрізних балок і рам тільки на один вид опору – стиснуте крутіння.
1/м (рис. 2.9). Для формування розв’язного рівняння використовуємо
рівняння (2.20) і вираз (2.21).
1. Розбиваємо балку на 3 стрижні й нумеруємо вузли. Стрілками зазначені
початок і кінець кожного елемента.
приймуть вид
;
;
.
й розв’язне рівняння МГЕ для балки приймає вид:
1 ;
2 -1
3 -1
4 -1
5
6 -1
7 -1
8 -1
9 -1
10 -1
11
12 1
12
у новому порядку, як показано цифрами праворуч, методом Гаусса
одержуємо значення граничних параметрів
вводяться за допомогою операторів присвоювання.
4. Для визначення напружено-деформованого стану балки використовуємо
рівняння (2.20), куди підставляємо знайдені значення початкових
параметрів:
стержень 0 – 1
;
стержень 1 – 2
стержень 2 – 3
.
Результати обчислень параметрів балки по цих рівняннях зведені в табл.
2.2. Епюри напружено-деформованого стану зображені на рис. 2.9.
Таблиця 2.2
, кНм2 Похідна
,
,
,
кНм
0,0 0,0 0,0 0,0 3,7593 -4,1205 -4,1205
2,0 2,0 -1,9810 -1,2251 -0,5007 -0,8953 -2,1204
4,0 4,0 -3,4305 -0,0837 -1,2924 -0,0368 -0,1205
6,0 6,0 -2,2556 1,1550 -0,7084 0,7244 1,8794
8, 0-0 8, 0-0 0,0 0,4789 2,7948 3,4004 3,8794
8,0+0 0,0 0,0 0,4789 2,7948 -2,4023 -1,9233
9,5 1,5 -1,1309 -0,6908 0,3201 -1,2325 -1,9233
11, 0-0 3, 0-0 -1,2589 -0,1662 -1,7161 -1,7570 -1,9233
11,0+0 3,0+0 -1,2589 -0,1662 -1,7161 1,4429 1,2766
12,5 4,5 -0,8049 0,5742 -0,2552 0,7024 1,2766
14, 0-0 6, 0-0 0,0 0,3490 0,8548 0,9276 1,2766
14,0+0 0,0 0,0 0,3490 0,8548 -0,3490 0,0
15,0 1,0 0,1351 -0,0663 0,7196 0,0663 0,0
16, 0-0 2, 0-0 -0,1454 -0,5199 1,0000 0,5199 0,0
Рис. 2.9
Вище відзначалося, що порядок системи рівнянь МГЕ (1.46) визначається
числом стержнів і не залежить від умов обпирання.
Підтвердженням цьому є наступний приклад.
, а порядок системи рівнянь залишиться рівним 12. Виконуючи відповідні
процедури, будемо мати
1 ;
2 -1
3 -1
4 -1
5
6 -1
7 -1
8 -1
9
10
11 -1
12 -1
???????????????????????????????????????????????????????????????????????
??
, як показано цифрами праворуч, методом Гаусса визначаємо граничні
параметри:
.
Рис. 2.10
j
??C????????????H?H?????
Ff_
@
`„gd/u?
”
#
@
(
((
) ) )
)
)
))
Ff/
++
+
`„gd/u?
yt/u? Значення бімоментів відрізняються на 10% від результатів,
отриманих методом вузлових депланацій (методом переміщень). Результати
розрахунку напружено-деформованого стану стержнів у внутрішніх точках
зведені в табл. 2.3.
Таблиця 2.3
Глобальна координата x, м Локальна координата x, м Значення параметрів
Кут закручування , кНм2 Похідна
, кНм Бімомент ,
кНм2 Згинально-крутильний момент ,
кНм Крутний момент зовнішніх сил ,
кНм
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0908 -0,4359 -0,4359
0,5 0,5 -0,0080 -0,0103 -0,0440 -0,1255
1,0 1,0 0,0001 0,0436 -0,0452 0,1204
1,5 1,5 0,0254 0,0358 0,0865 0,4282
2,0 2,0 0,0 -0,1917 0,4189 0,9558
-1,0082 0,7640
-1,2000
3,0 1,0 -0,3643 -0,3664 -0,1166 -0,2335
4,0 2,0 -0,5635 0,0 -0,2174 0,0
6,0 4,0 0,0 0,1917 0,4189 1,0082
-0,9558 1,2000
-0,7640
6,5 0,5 0,0254 -0,0358 0,0865 -0,4282
7,0 1,0 0,0001 -0,0436 -0,0452 -0,1204
7,5 1,5 -0,0080 0,0103 -0,0440 0,12
8,0 2,0 0,0 0,0 0,0908 0,4359 0,4359
Епюри стану нерозрізної балки представлені на мал. 2.10. З епюри треба,
що сума опорних крутних моментів точно дорівнює рівнодіючому крутному
моменту зовнішнього навантаження, тобто рішення по МГЭ даної балки є
точним.
Розглянемо приклад розрахунку на крутіння тонкостінної рами.
Приклад 2.6. Визначити напружено-деформований стан Г-образної рами (рис.
2.11) при 1/м.
Рис. 2.11 Рама навантажена розподіленим крутним моментом , що викликає
кут закручування у вузлі 1. Внаслідок цього виникає крім крутіння ще й
деформація вигину, який зневажаємо. У цьому випадку розрахунком вийдуть
завищені параметри крутіння в порівнянні з їхніми дійсними значеннями.
1. Розбиваємо раму на 2 стрижні, нумеруємо вузли, стрілками позначаємо
початок і кінець кожного елемента.
2. Формуємо матриці рівняння (1.46).
1 ; ; 1 ; 1
2 ;
2
2
3
3
3
4
4
4
5 ;
5
5 -183,082
6
6
6 -232,899
7
7
7 263,082
8
8
8 272,899
1 2 3 4 5 6 7 8
1
= 4
2 -1
6
3 А34 -1
3
4 -1
1
5 4
183,082 7
6 1
232,899 8
7 -1
-263,082 2
8 -1
-272,899 5
3. Переставивши рядка матриць, як показано цифрами праворуч, методом
Гаусса одержуємо значення граничних параметрів:
;
; ; ;
; .
Значення бімоментів збігаються з результатами, отриманими методом сил.
4. Напружено-деформований стан елементів рами визначаємо по рівнянню
(2.20), задаючи різні значення аргументу .
Епюри стану рами представлені на рис. 2.12.
Рис. 2.12
Наведені приклади характерні використанням гіперболічних функцій для
опису переміщень і зусиль у пружних системах. Як видно, МГЕ дозволяє
одержувати точні рішення задач статики при мінімально можливій
дискретизації розрахункової схеми. Відзначимо, що, якщо фундаментальні
функції відмінні від поліномів, то МКЕ не дає точних рішень задач.
Підвищення точності розрахунків по МКЕ досягається або дроблінням сітки
КЕ (цей шлях приводить до збільшення порядку розв’язної системи
рівнянь), або застосуванням точних матриць жорсткості, що не завжди
можливо.
Додамо також, що між аналітичним варіантом МГЕ й МКЕ існує безпосередній
зв’язок. З рівняння МГЕ (2.23) випливають всі елементи матриці
жорсткості просторового випадку деформування стержня при одиничних
лінійних і кутових переміщеннях граничних точок. У такий же спосіб можна
формувати матрицю жорсткості не тільки стержнів, але й пластин, і
оболонок.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
