Переміщення і деформації. Тензор деформацій
Переміщення і деформації. Тензор деформацій
Під дією зовнішніх навантажень пружне тіло змінює свою форму, деформується. При цьому точки тіла приймають якесь нове положення. Для визначення деформації пружного тіла зрівняємо положення точок тіла до і після прикладення навантаження.
Розглянемо точку ненавантаженого тіла і її нове положення після прикладення навантаження. Вектор називається вектором переміщення точки (рис.3.2).
Рис.3.2. Вектор переміщення точки
Можливі два види переміщень: переміщення всього тіла як єдиного цілого без деформування – такі переміщення вивчає теоретична механіка як переміщення абсолютно твердого тіла, і переміщення, пов’язане з деформацією тіла – такі переміщення вивчає теорія пружності.
Позначимо проекції вектора переміщення точки на координатні осі через відповідно. Вони рівні різниці відповідних координат точки і :
і є функціями координат:
Деформування тіла викликане різницею в переміщеннях різних його крапок. Нескінченно малий паралелепіпед з ребрами вирізаний із пружного тіла біля довільної точки , внаслідок різних переміщень його крапок деформується таким чином, що змінюється довжина його ребер і спотворюються спочатку прямі кути між гранями.
На рис.3.3 показані два ребра цього паралелепіпеду: і довжина ребра дорівнює а ребра —
Рис.3.3. Лінійні і кутові деформації
Після деформації точки приймають положення При цьому точка одержить переміщення, складові якого в площині креслення дорівнює й Точка віддалена від точки на нескінченно малі відстані одержить переміщення, складові якого будуть відрізнятися від складових переміщення точки на нескінченно малу величину за рахунок зміни координати
Складові переміщення точки будуть відрізнятися від складових переміщення точки на нескінченно малу величину за рахунок зміни координати
Довжина проекції ребра на вісь після деформації:
| (3.5) |
Проекція абсолютного подовження ребра на вісь
Відносне подовження уздовж осі
| (3.6) |
називається лінійною деформацією по напрямку осі .
Аналогічно визначаються лінійні деформації по напрямках осей і
| (3.7) |
Розглянемо зміну кутів між ребрами паралелепіпеда (рис.3.3). Тангенс кута повороту ребра в площині
Внаслідок малості деформацій а лінійною деформацією можна зневажити через її малість у порівнянні з одиницею, і тоді
Аналогічним образом можна визначити кут повороту ребра в тій же площині:
Перекручування прямого кута називається кутовою деформацією й визначається як сума кутів повороту ребер і :
| (3.8) |
У такий же спосіб визначаються кутові деформації у двох інших координатних площинах:
| (3.9) |
Формули (3.6)-(3.9) дають шість основних залежностей для лінійних і кутових деформацій від складові переміщення. Ці залежності називаються рівняннями Коші:
| (3.10) |
У межі, коли довжини ребер паралелепіпеда прагнуть до нуля, співвідношення Коші визначають лінійні й кутові деформації в околиці крапки
Позитивним лінійним деформаціям відповідають подовження, а негативним — укорочення. Кут зсуву вважається додатнім при зменшенні кута між додатними напрямками відповідних координатних осей і від’ємними — у противному випадку.
Аналогічно тензору напруг, деформований стан тіла в даній точці описується тензором деформацій
| (3.11) |
Як і тензор напруг, тензор деформацій є симетричною матрицею, що містить дев’ять компонентів, шість із яких є різними.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
