Приклад визначення напруги й прогину круглої пластини з радіальними
ребрами
Приклад. Визначити напруження й прогин для круглої пластини з
радіальними ребрами, зображеної на рис. 12.40.
Рішення.
Оскільки в цьому випадку ребра розташовані з однієї сторони й площа їх
поперечного переріза значна в порівнянні з товщиною пластини, то
припущення про нерозтяжність серединної поверхні пластини незастосовно.
Деформацію такої пластини можна представити як її згин щодо нейтральної
поверхні, розташованої на деякій відстані від серединної площини
пластини. Точне рішення розглянутої задачі з урахуванням нерівномірності
деформацій в окружному напрямку досить складно. Більш просте наближене
рішення, засноване на застосування методу Рітца, запропоновано А. Н.
Духовним. Це рішення засноване на наступних допущеннях:
);
2) форму пружної поверхні приймають подібною до форми поверхні
аналогічної пластини без ребер;
3) зсув нейтрального шару щодо серединної поверхні пластини вважають
постійним по радіусу.
, що характеризує прогин пластини, визначають по методу Рітца з умови
мінімуму енергії.
Прийнявши гіпотезу невикривлення нормалей і вважаючи напружений стан у
пластині двовісним, а в ребрах – одноосьовим, можна написати наступні
вирази деформацій і напружень:
.
Напруження в пластині
.
Напруження в ребрах
.
Потенційну енергію деформації обчислимо як інтеграл від питомої енергії
по обсягу пластини й ребер
;
,
— число ребер;
— площа перетину ребра.
Підставивши під знаки інтегралів вирази напружень і деформацій, і
виконавши інтегрування по товщині пластини і по перетину ребра, одержимо
— момент інерції перетину ребра щодо нейтральної лінії;
;
— момент інерції перетину ребра щодо його власної центральної осі;
r t „ † $
&
t † &
??
— відстань від центра ваги перетину ребра до серединної площини пластини
(висота ребер прийнята постійної по радіусі). На підставі другого
допущення можна написати
,
— прогин аналогічної пластини без ребер;
— невизначений параметр.
Тоді вираз енергії деформації пластини і ребер приймають вид
,
або
;
,
— інтеграл по довжині ребер
.
Потенціал навантаження для заданої пластини
,
— потенціал навантаження для пластини без ребер.
Повна енергія системи
.
по цих параметрах повинні дорівнювати нулю, тобто
або
;
.
й вирішивши систему двох рівнянь, знайдемо
;
Одержимо рішення для пластини, зображеної на рис. 12.49, а. Розглянемо
спочатку пластину без ребер (рис. 12.49, б).
Рис. 12.49. Наприклад 12.15
Уважаючи центр пластини абсолютно жорстким, запишемо граничні умови:
.
.
для заданого випадку навантаження мають такий вигляд:
;
.
.
По граничних умовах знайдемо постійні
.
і її похідній:
;
.
Обчислимо прогин пластини без ребер
,
а також потенційну енергію деформації
і інтеграл
.
:
;
зсув нейтрального шару
і параметр
.
Тоді максимальний прогин пластини з ребрами
.
.
.
Отже, у точках, розташованих у зовнішнього края, напруження менше, ніж у
внутрішнього краю.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
