Змушені коливання пружних систем з одним ступенем свободи
Якщо прийняти, що крім постійної сили ваги вантажу (рис. 15.5) на нього діє періодична сила , що обурює , то на відміну від розглянутих у попередньому параграфі вільних коливань будемо мати випадок змушених коливань. Рівняння цих коливань одержимо з виразу (15.1), додаючи до його правої частини силу :
. | (15.12) |
Ділячи всі члени рівняння на , одержуємо
. | (15.13) |
Розглянемо окремий випадок, коли сила пропорційна , тобто коли період сили , а частота .
Позначивши
,
приведемо рівняння (15.13) до виду
. | (15.14) |
При повільній зміні , тобто при , малому в порівнянні з , можна зневажити членом , що містить прискорення в рівнянні (15.14), і тоді одержати статичну деформацію
. | (15.15) |
Для визначення динамічної деформації потрібно вирішити диференціальне рівняння (15.14). Це рішення, як відомо, можна одержати, якщо до рішення однорідного рівняння (15.1)
(15.16) |
додати часткове рішення рівняння (15.14)
. | (15.17) |
Підставляючи частку рішення (15.17) у диференціальне рівняння (15.14) і з огляду на
;
,
знайдемо, що
.
Звідси після скорочення на одержимо
,
тобто амплітуда
. | (15.18) |
Тоді загальне рішення рівняння (15.14) остаточно прийме вигляд
. | (15.19) |
Перших два складові правої частини рівняння (15.19) характеризують вільні коливання, які звичайно швидко загасають; останній доданок характеризує змушені сталі коливання системи, які відбуваються із частотою зовнішньої сили, що обурює.
Амплітуда змушених коливань, як виходить з формули (15.18), залежить від частоти цих коливань . Відношення амплітуди до статичної деформації (15.15) визначає так званий коефіцієнт наростання коливань :
, | (15.20) |
або
, | (15.21) |
де
; .
З формули (15.20) виходить, що при малому відношенні коефіцієнт близький до одиниці і амплітуда змушених коливань лише небагато відрізняється від статичної деформації. Коли ж частота змушених коливань наближається до частоти власних коливань системи, амплітуда змушених коливань прагне до нескінченності; тобто при амплітуда . При і маємо стан резонансу. Відповідна частота сили, що обурює, називається критичної.
Розглядаючи вираз (15.20), графічне зображення якого представлено на рис. 15.12, бачимо, що при частоті сили , що обурює, більше власної частоти коливань системи, тобто при , амплітуда динамічного переміщення зменшується і при робиться дуже малою в порівнянні зі статичним переміщенням. У цьому випадку вантаж можна розглядати як нерухомий.
Рис. 15.12. Коефіцієнт наростання коливань
При змушені коливання й сила, що обурює, перебувають в одній фазі, тобто зрушення фаз . Це значить, що в момент, що коли коливається вантаж (рис. 15.5) досягає свого найбільшого відхилення, припустимо, долілиць, що обурює сила одержує найвище значення в цьому ж напрямку. При різниця у фазах змушених коливань і сили, що обурює, становить величину , тобто коливання відбуваються в протифазі із силою, що обурює. Це значить, що в той час, коли сила що обурює має максимальне значення в напрямку донизу, а вантаж що коливається досягає свого максимального відхилення уверх. Таке явище можна добре зрозуміти на прикладі змушених коливань математичного маятника (рис. 15.13), порушення якого здійснюють шляхом горизонтального зворотно-поступального періодичного переміщення точки підвісу з різною частотою. Положення маятника, що коливається в одній фазі з фактором, що обурює, наведено на рис. 15.13, ; коливання маятника в протифазі із силою, що обурює, показано на рис. 15.13, .
Амплітуда власних (незалежних) коливань можна визначити із загального рішення (15.19) при розгляді початкових умов. Так, думаючи, що в початковий момент (при ) переміщення і швидкість дорівнюють нулю, тобто й , з рівняння (15.19) будемо мати
; .
а | б |
Рис. 15.13. Змушені коливання маятника
Підставляючи знайдені значення в рівняння (15.19), остаточно одержуємо
. | (15.22) |
На початку дії сили, що обурює, виникають змушені й вільні коливання однієї амплітуди.
Якщо частота сили, що обурює, наближається до частоти власних коливань, має місце биття. Нехай
.
Тоді рівняння (15.22) при
буде мати вигляд
(15.23) |
тобто одержимо рівняння синусоїдального коливального руху з періодом
і змінною амплітудою
,
період зміни якої, або період биття, характеризується величиною
.
Графічне подання коливання з биттям наведене на рис. 15.14. З останньої формули виходить, що період биття збільшується з наближенням частоти обурення до частоти власних коливань і стає рівним нескінченності у випадку резонансу (при ).
Рис. 15.14. Коливання з биттям
В останньому випадку, коли й , рівняння (15.23) може бути представлене так:
, | (15.24) |
тобто амплітуда із часом зростає безмежно. Помітимо, що останній висновок справедливий тільки при відсутності в коливальній системі сил опору. Таких реальних коливальних систем не існує.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter