Моментна теорія несиметричної деформації циліндричних оболонок
Вивід рівнянь моментної теорії несиметричної деформації циліндричної
оболонки ґрунтується на загальних гіпотезах Кірхгофа – Лява про
невикривлення нормалей і про відсутність нормальних напружень у
площадках, паралельних серединної поверхні, а також на припущеннях про
малість товщини в порівнянні з радіусом кривизни й малості переміщень у
порівнянні з товщиною (див. п. 13.2.1).
від переміщень (рис. 13.57).
:
Визначимо переміщення точки довільного шару, розташованого на відстані z
від серединної поверхні (z відлічується в напрямку до центра). На
підставі гіпотези невикривлення нормалей і припущення про тонкостінність
, у результаті одержимо вираз деформацій у довільному шарі:
в осьовому напрямку
(13.235)
і в окружному напрямку
у знаменнику через тонкостенність приймемо за одиницю; тоді з
урахуванням рівності (13.194) одержимо
(13.236)
кутова деформація в z-м шарі
рівною одиниці, одержимо
(13.237)
Перейдемо до другої групи рівнянь, що встановлюють залежність між
переміщеннями й внутрішніми силовими факторами. За законом Гука при
плоскому напруженому стані напруження і деформації в довільному шарі
зв’язані наступними рівняннями:
(13.238)
Представимо внутрішні силові фактори в оболонці у вигляді інтегралів:
Виконавши інтегрування з урахуванням рівностей (13.236) – (13.238),
одержимо
(13.239)
Третю групу рівнянь становлять рівняння рівноваги елемента оболонки. На
рис. 13.72 зображений елемент оболонки з діючими на нього силами і
моментами. Взявши суму проекцій всіх сил на три взаємно перпендикулярні
осі, а також суму моментів щодо осей х и t, дотичних до поверхні,
одержимо наступні п’ять рівнянь:
Рис. 13.72. Елемент оболонки з діючими силами і моментами
, то неважко переконатися, що шосте рівняння рівноваги задовольняється
тотожно.
Рівняння (13.239) і (13.240) – (13.244) утворять систему одинадцяти
рівнянь із одинадцятьома невідомими (вісім внутрішніх силових факторів і
три компоненти переміщення).
Ця система рівнянь найбільш повно описує напружено-деформований стан
несиметрично навантаженої циліндричної оболонки.
.
Інтегрування отриманого рівняння з обліком заданих граничних умов являє
собою досить складну задачу.
отриману в результаті підстановки виразів (13.239) у рівняння
(13.240) – (13.244).
Методика рішення цієї системи рівнянь у тригонометричних рядах полягає в
наступному. Задані поверхневі навантаження представляють у вигляді
рядів:
??
gd\qa ‚
„
?
?
E
E
O
O
yt\qa
).
Шукані функції також записують у вигляді рядів:
Коефіцієнти цих рядів є невідомими функціями від x.
.
. Ці групи рівнянь із урахуванням граничних умов вирішують у стандартних
комп’ютерних програмах.
Зупинимося на питанні про застосування загальних рівнянь несиметричної
деформації циліндричної оболонки до розрахунку оболонок, що перебувають
у напруженому стані, близькому до чисто моментного стану.
Якщо умови навантаження і закріплення такі, що оболонка пручається
зовнішньому навантаженню в основному за рахунок згинальної жорсткості
стінки, то можна прийняти припущення, що лінійні й кутові деформації на
серединній поверхні дорівнюють нулю.
Тоді, дорівнявши нулю ліві частини рівностей (13.189) – (13.191),
одержимо наступну систему рівнянь:
(13.245)
З першого рівняння
(13.246)
із другого рівняння
(13.247)
і із третього рівняння
, обумовлені по граничних умовах.
будуть знайдені, обчислити внутрішні силові фактори по формулах
(13.239) не важко.
Приклад 13.24. Нижній край оболонки (рис. 13.73) вставлений у жорстку
обойму, що перешкоджає перекручуванню форми окружності. До верхнього
краю прикладені дві діаметрально протилежні сили Р.
Рис. 13.73. До прикладу 13.24
Розклавши задане навантаження в ряд, одержимо еквівалентне розподілене
радіальне навантаження
-ій складового навантаження:
Припустимо, що радіальне переміщення на верхньому торці, що відповідає
цій складовій, також розподілено за законом косинуса:
Сполучимо початок координат з верхнім торцем, тоді граничні умови будуть
наступні:
Із цих умов на підставі рівностей (13.247) і (13.248)
звідки виходить
і вирази переміщень приймають вид
-і складові згинаючих і скручивального моментів:
, у цьому випадку можуть бути визначені по рівняннях рівноваги (13.240)
– (13.244):
У дійсності ж на краю оболонки є тільки радіальне навантаження
) деяким сумарним еквівалентним поперечним зусиллям
знайдемо, використовуючи залежність (13.222):
:
, одержимо рівняння
з якого знайдемо
визначаються підсумовуванням відповідних рядів;
наведені в наступній таблиці:
2
4
0,126P
0,028P
момент , тоді як у дійсності вони дорівнюють нулю. Величини цих силових
факторів, однак, виходять невеликими.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
