Осесиметрично навантажені оболонки обертання (реферат)

Осесиметрично навантажені оболонки обертання

Осесиметричними називають оболонки, що мають форму тіла обертання і навантажені осесиметричним навантаженням. Так як в таких оболонках всі величини по куту  — постійні, то похідні по  в рівняннях рівноваги (13.5) — (13.7) і в рівняннях переміщень (13.12) — (13.14) пропадають; у результаті ці рівняння спрощуються:

Неважко помітити, що ця система рівнянь розпадається на дві незалежні групи. У першу групу входять рівняння (13.15), (13.16), (13.19) і (13.20), не утримуючі . Ця група рівнянь описує осесиметричне розтягання оболонки. Два залишившихся рівняння (13.17), (13.20), не утримуючих  і  описують осесиметричне крутіння оболонки.

Розглянемо першу групу рівнянь.

Так як складові поверхневого навантаження ,  і  задані, то по рівнянню (13.16) можна визначити зусилля . Проінтегрував праву і ліву частини рівняння в межах від  до , одержимо

де  (мал. 13.8, а).

Рівняння (13.21) являє собою рівняння рівноваги частини оболонки, обмеженої зверху краєм , а знизу довільним перетином радіуса . Для оболонки, замкнутої у вершині при , рівняння (13.21) перетворюється в рівняння рівноваги відсіченого купола. Ліва частина рівняння дорівнює рівнодіючій меридіональних сил , що діють у поточному перетині, віднесеної до одиниці полярного кута. Інтеграл у правій частині є рівнодіюча зовнішніх поверхневих сил, прикладених до відсіченої частини оболонки, віднесена до одиниці полярного кута. Постійна  враховує сили, прикладені до верхнього краю відсіченої частини, а також можливого кільцевого навантаження, прикладені в межах ділянки від до .

Позначимо через  сумарну осьову силу, що доводиться на одиницю полярного кута:

У кожному окремому випадку ця сила легко визначається з рівняння рівноваги відсіченої частини оболонки. По функції , на підставі рівняння (13.21), можна знайти меридіональну силу

По меридіональній силі , відповідно до рівняння Лапласа (13.9), визначається окружна сила

Приведемо вираз функції  для деяких окремих випадків навантаження.

Для оболонки, замкнутої у вершині, навантаженої рівномірним тиском (рис. 13.8, а), функція  обчислюється як добуток тиску  на площу круга радіусом , віднесеного до одиниці полярного кута:

Для купола, заповненого рідиною (рис. 13.8, б), функція  складається з ваги рідини у відсіченій частині і сили тиску вище розташованих шарів рідини, віднесених до одиниці полярного кута:

де  — питома вага рідини;

— обсяг відсіченої частини оболонки;

— тиск у розглянутій точці.

Рис. 13.8. Осесиметричні оболонки

Для оболонки, що перебуває під дією сил власної ваги,

де  — поверхня відсіченої частини.

Розглянемо більш докладно питання про розрахунок замкнутих резервуарів, що перебувають під дією рівномірного внутрішнього тиску (рис. 13.9). Функція  в цьому випадку визначається по залежності (13.25). З огляду на, те що , і використовуючи рівняння (13.23) і (13.24), знайдемо меридіональну й окружну сили:

Формули (13.27) і (13.28) справедливі для будь-якої форми резервуара за умови, що меридіональний перетин має однозв’язний контур (рис. 13.9).

Рис. 13.9. Меридіональний перетин з однозв’язним контуром

Для циліндричного резервуара  й .

Отже,

Формули (13.29) відомі за назвою «котелень» формул або формул Маріотта; їх застосовують для обчислення напружень у циліндричних казанах, посудинах і тонкостінних трубах, що перебувають під дією внутрішнього тиску.

Для сферичного резервуара , зусилля і напруження відповідно рівні

де  — діаметр сфери.

Зіставивши формули (13.29) і (13.30), можна побачити, що при однаковому тиску і при однакових діаметрах і товщині максимальне нормальне напруження в сферичній оболонці буде в 2 рази менше, ніж у циліндричній.

Варто звернути увагу на те, що при  права частина рівності (13.28) стає негативною і, отже, окружна сила  буде стискаючою. Цю обставину необхідно мати на увазі, тому що при дії стискаючих напружень може відбутися втрата стійкості первісної форми, і на оболонці можуть утворитися складки.

На підставі викладеного можна укласти, що з погляду економічності найбільш доцільною формою резервуарів, що працюють під дією внутрішнього тиску, буде сферична форма.

Однак по технологічних міркуваннях резервуари часто роблять циліндричної форми із днищами. Найбільш часто застосовують наступні форми днищ: сферичне (рис. 13.10, а); еліптичне, що має форму еліпсоїда обертання (рис. 13.10, б); коробчасте, що складає із частини сфери й частини тора (рис. 13.10, в). Зусилля й напруження в циліндричній частині резервуара не залежать від форми днища і визначаються по формулах (13.29). У сферичному днищі зусилля  й  мають однакові значення:

Практикою встановлено, що оптимальне значення відношення висоти днища  до радіуса циліндра  приблизно дорівнює .

При зазначеному відношенні радіус сфери повинен бути дорівнює  й кут нахилу нормалі на краю днища . У цьому випадку епюри зусиль  і  мають вигляд, показаний на рис. 13.10, а. Відокремивши сферичне днище від циліндричної частини резервуара, можна побачити, що на циліндр передається сила , що має більшу радіальну складову, яка викликає згинання стінки. Щоб зменшити це згинання і одержати напружений стан, більш близьке до безмоментного, необхідно на краю циліндра встановити досить потужне кільце, що сприймало б радіальну складову сили  (на рис. 13.10, а поперечний переріз кільця показаний штриховою лінією).

Рис. 13.10. Форми днищ

При відсутності такого кільця в зоні сполучення циліндра і днища виникнуть значні напруження згину. Однак, якщо матеріал резервуара пластичний, а тиск постійний в часі, то напруження згину не представляють небезпеки, тому що з ростом тиску в зоні згинання виникають місцеві пластичні деформації і ріст напружень уповільнюється. У той же час у циліндричній частині резервуара напруження розтягання продовжують збільшуватися пропорційно тиску аж до руйнування. Руйнування такого резервуара відбувається на деякій відстані від днища. Згинальні напруження можуть стати причиною руйнування при дії пульсуючого тиску (втомленосне руйнування) або при постійному тиску в умовах низьких температур (крихке руйнування). Для крихкого матеріалу згинальні напруження можуть бути причиною руйнування і при статичному навантаженні в умовах нормальної температури.

Визначимо напруження в еліптичному днищі. Півосі еліпса рівні відповідно  й  (рис. 13.10, б). Радіуси кривизни еліпсоїда в довільній точці визначаються формулами:

де  — кут між нормаллю і віссю обертання;

— радіус кривизни у вершині (при );

— параметр, що визначає форму еліпса.

При підстановці значень радіусів (13.31) залежності (13.27) і (13.28) приймають вид

Епюри зусиль  і , побудовані при значенні відношення  ( , ), наведені на рис. 13.10, б.

Перевагою еліптичного днища є те, що радіальна складова сили  в місці переходу від днища до циліндра дорівнює нулю.

Однак згин стінки в зоні сполучення тут повністю не виключається. Дійсно, через те, що окружне зусилля  в місці сполучення днища й циліндра змінюється розривно від  до , значення окружної деформації  і радіального переміщення  також мають розрив. У дійсності ж  і  — функції безперервні. Тому в зоні сполучення до безмоментного стану додається згин стінки. Цей вигин буде, однак, значно слабкіше, ніж при сферичному днищі.

Визначимо напруження в коробовом днищі (рис.13.10,в).

Введемо позначення:  — радіус кривизни сферичної частини днища,  — радіус тороідального закруглення; — кут нахилу нормалі на границі між сферичною і тороідальною частиною днища.

Для забезпечення плавного переходу від сферичної частини до тороідальної необхідне дотримання наступних рівностей:

;

.

Якщо задані розміри , , а також відношення , то із зазначених рівностей неважко знайти  й .

Так, наприклад, при  й

; .

Очевидно, що при тому самому значенні відносини  можна підібрати кілька різних форм коробового днища з різними значеннями радіуса тороидальні частини. Звичайно приймають .

У довільній точці тороідальної частини днища радіуси кривизни відповідно рівні

; ,

і внутрішні зусилля

У межах сферичної частини

и

.

Епюри  й  побудовані при ; ;  наведені на рис. 13.10, в.

Коробове днище, так само як і еліптичне, не передає на циліндр радіального навантаження. Перевагою цього днища в порівнянні з еліптичним є більш проста форма меридіана. У перехідних точках коробового днища окружне зусилля має розриви, отже, у зонах сполучення ділянок виникає згин стінки, і дійсні значення зусиль будуть трохи інші. Більш точні значення зусиль можуть бути знайдені по моментній теорії оболонок.

Зі сказаного, однак, не виходить, що розрахунок по безмоментній теорії марний, тому що, по-перше, цей розрахунок входить як складова частина в розрахунок по моментній теорії; по-друге, розтягуючи напруження в сферичній і циліндричній частинах резервуара, знайдені по безмоментній теорії, досить добре характеризують фактичну міцність резервуара (у випадку пластичного матеріалу). Що ж стосується високих стискаючих напружень у тороідальній частині днища, то в дійсності ці напруження значно менше обчислених по безмоментній теорії внаслідок впливу деформації згину.

Зупинимося на питанні визначення переміщень в осесиметричних оболонках обертання.

Якщо внутрішні зусилля  і  уже знайдені, то система рівнянь переміщень (13.18) і (13.19) може бути вирішена відносно  й . В осесиметричних оболонках, однак, більш зручно розглядати переміщення  й  у радіальному й осьовому напрямках (рис. 13.11).

Рис. 13.11. Переміщення в радіальному і осьовому напрямках

Виразимо ці переміщення через відносні Подовження серединної поверхні.

Відносне подовження в окружному напрямку кільцевого волокна, що проходить через точку :

Звідси радіальне переміщення

Для визначення відносної деформації в меридіональному напрямку розглянемо замкнутий багатокутник . Візьмемо суму проекцій його ланок на дотичну до меридіана

Звідси визначається збільшення довжини відрізка :

і меридіональна деформація

Залежності (13.34), (13.36) можна одержати також з рівнянь (13.18), (13.19), якщо скористатися співвідношеннями, що зв’язують переміщення  й  з переміщеннями  й ):

Осьове переміщення визначимо по рівнянню (13.36):

або

Підставивши під знак інтеграла вираз (13.35) і застосувавши формулу інтегрування вроздріб, можна представити рівняння (13.37) також у наступному виді:

де  або  — координата краю, прийнятого за початок відліку. Одержимо ще вираз кута повороту нормалі . Для цього дорівняємо нулю суму проекцій ланок багатокутника на напрямок нормалі до поверхні

.

Звідси, зневажаючи малою величиною  в порівнянні з одиницею

або з урахуванням рівності (13.36):

Кут  можна виразити також через переміщення  і :

Приклад 13.1. Кришка циліндра сферичної форми перебуває під дією внутрішнього тиску    (рис. 13.12). Діаметр циліндра   ; радіус сферичної поверхні (серединної) ; допустиме напруження, що   . Визначити необхідну товщину кришки .

Рішення.

Зусилля в сферичній оболонці при дії рівномірного внутрішнього тиску, відповідно до формули (13.30):

і напруження

.

Еквівалентне напруження по гіпотезі міцності найбільших дотичних напружень

.

Рис. 13.12. Наприклад 13.1

Дорівнявши еквівалентне напруження рівним допустимому , знайдемо шукану товщину

.

Помітимо, що товщина плоскої кришки при тих же вихідних даних повинна бути   . Отже, заміна плоскої кришки, що працює на згин, на сферичну, працюючу на розтягання, дозволяє істотно зменшити її товщину.

У місці сполучення сферичної частини кришки із фланцем виникає згин стінки внаслідок невідповідності окружних деформацій краю оболонки і фланця. При пластичному матеріалі при статичному навантаженні цей згин не має істотного значення і його можна не враховувати.

Приклад. Визначити напруження і переміщення точок серединної поверхні оболонки, що має форму півсфери. Оболонка підвішена за верхній край і заповнена рідиною, питома вага якої    (рис. 13.13).

Рис. 13.13. Наприклад 13.2

Розглянемо частину оболонки, відсічену по окружності, що проходить через довільну точку  (рис. 13.13). На відсічену частину діє вага рідини в обсязі сегмента

і сила тиску вище розташованих шарів рідини

,

де — тиск рідини;

— радіус окружності перетину.

Склавши ці дві сили й розділивши на , одержимо функцію :

.

Далі по формулах (13.23) і (13.24) визначимо зусилля

;

.

Епюри зусиль  і  наведені на рис. 13.13.

Для забезпечення безмоментного стану необхідно, щоб верхній край півсфери міг вільно переміщуватися в радіальному напрямку.

Обчислимо зміну радіуса окружності верхнього краю і зміну висоти півсфери.

Попередньо визначимо відносні подовження в мерідіональному і окружному напрямках у довільній точці. По формулах узагальненого закону Гука

.

Підставивши значення  в рівність (13.34), знайдемо радіальне переміщення в довільній точці

Зміна радіуса окружності верхнього краю

.

Для визначення осьового переміщення скористаємося залежністю (13.37), продиференціюєм  по :

і підставимо  й  під знак інтеграла (13.37). Після нескладних перетворень інтеграл приймає вид

, де .

Виконавши інтегрування і прийнявши , прийдемо до наступного виразу для осьового переміщення довільної точки щодо верхнього краю:

.

При  це вираження дає зміна висоти півсфери

.

Знак плюс вказує на те, що висота півсфери збільшується.

Приклад. Досліджувати напружений стан у куполі, що перебуває під дією сил власної ваги (рис. 13.14). Розглянути різні варіанти форми купола (сфера, параболоїд, еліпсоїд).

Рис. 13.14. Наприклад 13.3

Рішення.

Інтенсивність поверхневого навантаження  розкладемо на нормальну і дотичну складові: ; .

Обчислимо вагу частини купола, відсіченої по окружності поточного радіуса :

,

де , , ,  — поточні значення величин в інтервалі від до . Розділивши вагу  на , одержимо функцію , по якій визначається меридіональне зусилля [див. (13.23)]:

.

По меридіональному зусиллю на підставі рівняння Лапласа (13.15) знайдемо окружне зусилля

.

Для обчислення зусиль  і  необхідно знати залежність радіусів  і  від кута . Ця залежність для всіх зазначених форм купола може бути виражена формулами (13.31), у яких параметр  залежить від виду поверхні купола. При  формули (13.31) дають значення радіусів кривизни поверхні сфери: при  — поверхні параболоїда; при  — поверхні еліпсоїда; при  — поверхні гіперболоїда.

Для еліпсоїда параметр  пов’язаний з відношенням півосей  співвідношенням

.

Значення зусиль  і , обчислені для чотирьох варіантів купола, зазначені на рис. 13.15. Відношення висоти  до зовнішнього радіуса  для всіх чотирьох варіантів прийнято рівним .

На тім же малюнку зазначені значення горизонтальної складової меридіональної сили на краю купола (тобто сили розпору ).

Недоліком першого і другого варіанта (рис. 13.15, а,б) купола є велика сила розпору, для сприйняття якої потрібно потужне опорне кільце.

У другому варіанті, крім того, окружна сила на краю оболонки – негативна, а окружна деформація близька до нуля, у той час як окружна деформація опорного кільця позитивна. Отже, у другому варіанті безмоментний стан біля краю неможливо ні при якому перетині опорного кільця.

Рис. 13.15. Зусилля для чотирьох варіантів купола

У третьому варіанті (рис. 13.15, в) сила розпору дорівнює нулю й тому опорне кільце не потрібно. Недоліком третього варіанта є те, що окружна сила на краю купола досягає великих позитивних значень, тому край купола в цьому варіанті необхідно стовстити.

У четвертому варіанті (рис. 13.15, г) розпірна сила не дуже велика; у той же час окружна сила – позитивна. Отже, підібравши належним чином перетин опорного кільця, можна домогтися рівності окружних деформацій краю оболонки й кільця й одержати напружений стан, близький до безмоментного.

Це дозволяє зробити висновок, що із чотирьох розглянутих варіантів останній має перевагу, хоча можливо, що він також не є оптимальним.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter