Задачі теорій міцності. Класичні критерії міцності (теорії міцності)
Складний опір. Гіпотези міцності та їх застосування
Задача теорій міцності
Найважливішою задачею інженерного розрахунку є оцінка міцності деталі по
відомому напруженому стану. Найбільш просто ця задача вирішується для
простих видів деформації, зокрема для одноосьових напружених станів,
тому що в цьому випадку значення граничних (небезпечних) напружень легко
встановити експериментально. Під небезпечними напруженнями, як уже
вказувалося, розуміють напруження, що відповідають початку руйнування
(при крихкому стані матеріалу) або появі залишкових деформацій (у
випадку пластичного стану матеріалу). Так, випробування зразків з даного
матеріалу на просте розтягання або стиск дозволяють без особливих
труднощів визначити значення небезпечних напружень:
при стискання, забезпечуючи коефіцієнт запасу проти настання граничного
стану. Таким чином, умова міцності для одноосьового напруженого стану
(рис. 10.1,а) має вигляд
а б
Рис. 10.1. Одноосьовий напружений стан
не дорівнюють нулю (рис. 10.1, б).
залежно від співвідношень між ними. Тому експериментально встановити
граничні величини головних напружень дуже складно не тільки через
труднощі постановки досліджень, але й через великий обсяг випробувань.
Інший шлях рішення задачі полягає у встановленні критерію міцності
(критерію граничного напружено-деформованого стану). Для цього вводять
гіпотезу про переважний вплив на міцність матеріалу того або іншого
фактора: думають, що порушення міцності матеріалу при будь-якому
напруженому стані наступить тільки тоді, коли величина даного фактора
досягне деякого граничного значення. Граничне значення фактора, що
визначає міцність, знаходять на підставі простих, легко здійсненних
опитів на розтягання. Іноді користуються також результатами досліджень
на крутіння. Таким чином, введення критерію міцності дозволяє порівняти
даний складний напружений стан із простим, наприклад, з одноосьовим
розтяганням (рис. 10.2), і встановити при цьому таке еквівалентне
(розрахункове) напруження, що в обох випадках дає однаковий коефіцієнт
запасу.
, щоб вони стало граничними:
Обрана зазначеним образом гіпотеза називається механічною теорією
міцності. Нижче розглянуті деякі з таких теорій.
Рис. 10.2. Складний напружений стан і одноосьове розтягання
Класичні критерії міцності (теорії міцності)
. Останнє встановлюється при простому розтяганні або стиску на зразках з
даного матеріалу.
Умова порушення міцності при складному напруженому стані має вигляд
(10.1)
Умова міцності з коефіцієнтом запасу n наступна:
або
(10.2)
де
Таким чином, критерій найбільших нормальних напружень із трьох головних
напружень враховує лише одне – найбільше, вважаючи, що два інших не
впливають на міцність.
Опитна перевірка показує, що ця теорія міцності не відбиває умов
переходу матеріалу в пластичний стан і дає при деяких напружених станах
задовільні результати лише для досить крихких матеріалів (наприклад, для
каменю, цегли, кераміки, інструментальної сталі й т.п.).
. Останнє визначається при простому розтяганні або стиску зразків з
даного матеріалу.
Таким чином, умова руйнування наступна:
(10.3)
а умова міцності –
. Тоді
, ми тим самим для найбільшого відносного подовження допускаємо величину
в умову міцності (10.4). Тоді
або
(10.5)
Як видно з умови міцності (10.5), у цій теорії з допустим напруженням,
потрібно порівнювати не ту або іншу головну напругу, а їх комбінацію.
Еквівалентне напруження в цьому випадку
(10.6)
Опитна перевірка цієї теорії вказує на результати, що погоджуються в
ряді випадків, лише для крихкого стану матеріалу (наприклад, для
легованого чавуну і високоміцних сталей після низької відпустки).
Відзначимо також, що застосування другої теорії міцності у вигляді
(10.5) неприпустимо для матеріалів, що не слідують закону Гука або, що
перебувають за межами пропорційності.
. Останнє визначається при досягненні граничного стану у випадку
простого розтягання.
Умова руйнування має вигляд
(10.7)
умова міцності –
(10.8)
Так як
то умову руйнування і міцності (10.7), (10.8) можна виразити через
головні напруження так:
(10.10)
Таким чином, еквівалентним напруженням по третій теорії є різниця
алгебраїчно найбільших і найменшого головних напружень:
, що, як показують дослідження, робить також якийсь, хоча в багатьох
випадках і незначний, вплив на міцність матеріалу.
Відзначимо, що критерій найбільших дотичних напружень звичайно
розглядається як умова початку утворення пластичних (залишкових)
деформацій. Останні є результатом ковзання шарів атомів у кристалі по
певних кристалографічних площинах. Це стає можливим у випадку, коли на
зазначених площинах ковзання дотичні напруження досягають деякої
граничної величини.
Таким чином, як критерій, що визначає настання плинності матеріалу,
можна прийняти величину найбільшого дотичного напруження.
Вважаючи граничним станом настання плинності, з рівності (10.9) маємо
(10.12)
Це умова досить задовільно описує початок пластичної деформації для
багатьох металів і сплавів.
” ?
?
??
%тоді, коли питома потенційна енергія формозміни досягає свого
граничного значення. Останнє можна легко визначити при простому
розтяганні в момент плинності.
Умова настання плинності –
(10.13)
Умова міцності –
(10.14)
Припускаючи, що закон Гука справедливий аж до настання граничного стану,
можна потенційну енергію формозміни в загальному випадку напруженого
стану записати у вигляді
маємо
(10.16)
Отже, умова (10.13) після підстановки виразів (10.15) і (10.16)
перетворюється так:
(10.17)
або
(10.18)
Умова міцності буде наступною
(10.19)
Отже, еквівалентне напруження по четвертій теорії
.
Експериментальні дослідження добре підтверджують четверту теорію для
пластичних матеріалів, що однаково працюють на розтягання й на стиск.
Поява в матеріалі малих пластичних деформацій четвертою теорією
визначається більш точно, ніж третьої.
на октаедричній площадці, рівнонаклоненої до трьох головних напрямків.
Тому розрахункові рівняння четвертої теорії міцності можна одержати
виходячи із критерію сталості октаэдричних дотичних напружень:
Таке трактування звільняє розглянуту теорію міцності від обмежень,
пов’язаних з областю застосовності закону Гука, і дає можливість
установити умови початку не тільки пластичних деформацій, але й
руйнування.
.
міцність матеріалу порушується, то круг, побудований на цих
напруженнях, називається граничним. Міняючи співвідношення між головними
напруженнями, одержимо для даного матеріалу сімейство граничних
окружностей (рис. 10.3). Опити показують, що в міру переходу з області
розтягання в область стиску опір руйнуванню збільшується. Цьому
відповідає збільшення діаметрів граничних окружностей по мірі руху
вліво.
Рис. 10.3. Кола Мору
Що обгинає ABCDE сімейства граничних кіл обмежує область міцності (рис.
10.3). Точка С відповідає всебічному рівномірному розтяганню. Тому що
при рівномірному всебічному стисканні матеріал здатний, не руйнуючись,
витримати дуже великі напруження, то обгинаюча ліворуч залишається
незамкнутою.
будують коло. Міцність буде забезпечена, якщо він цілком ляже усередині
обгинаючої. Будемо збільшувати пропорційно величини головних напружень
доти, поки коло, що зображує даний напружений стан, торкнеться граничних
що обгинають. Відношення радіусів отриманого в такий спосіб граничного
кола й початкового визначить коефіцієнт запасу.
На практиці звичайно невелику ділянку що обгинає будують на підставі
двох опитів — на розтягання й стиск, причому граничні криві заміняють
прямими лініями, дотичними до окружностей (рис. 10.4). Напружений стан,
що допускається, можна одержати, зменшивши масштаб креслення в n раз (n
– коефіцієнт запасу).
Рис. 10.4. Практичний метод побудови що обгинає
На рис. 10.5 показаний напружений стан, що допускається, для невеликої
ділянки що обгинає.
Рис. 10.5. Допустимий напружений стан для ділянки що обгинає
паралельну .
З подобі трикутників одержимо наступні залежності:
Замінивши відрізки ліній значеннями відповідних напружень, будемо мати
Після перетворення, уводячи знак нерівності, одержуємо умову міцності:
обгинаюча на зазначеній ділянці проходить паралельно осі абсцис і
розрахункова формула (10.21) збігається з формулою (10.10), отриманої по
третій теорії міцності.
.
Про застосовність тої або іншої теорії міцності для практичних
розрахунків можна сказати наступне.
Руйнування матеріалів відбувається шляхом відриву за рахунок напружень,
що розтягують, або подовжень і шляхом зрізу за рахунок найбільших
дотичних напружень. При цьому руйнування відривом може відбуватися при
досить малих залишкових деформаціях або зовсім без них (крихке
руйнування). Руйнування шляхом зрізу має місце лише після деякої
залишкової деформації (грузле руйнування). Звідси ясно, що першу і другу
теорії міцності, що відбивають руйнування відривом, можна застосовувати
лише для матеріалів, що перебувають у крихкому стані. Третю і четверту
теорії міцності, що добре відбивають настання плинності і руйнування
шляхом зрізу, слід застосовувати для матеріалів, що перебувають у
пластичному стані.
Теорія міцності Мору дозволяє встановити опір руйнуванню матеріалів, які
мають різними опорами розтяганню й стиску. При цьому гілка АВ (рис.
10.3) характеризує руйнування від зрізу, а гілка ВР — від відриву.
Тому що перша й друга теорії міцності мають істотні недоліки, то в цей
час затверджується думка про небажаність їх застосування. Таким чином,
для практичних розрахунків варто рекомендувати четверту (або третю)
теорію міцності для матеріалів, що однаково пручаються розтяганню і
стиску, і теорію Мора — для матеріалів, по-різному її проявляючихся
розтяганню й стиску, тобто для крихких матеріалів (для них у цей час
поки ще застосовують і другу теорію міцності).
Варто підкреслити, що стан матеріалу (крихкий або пластичний)
визначається не тільки його властивостями, але й видом напруженого
стану, температурою і швидкістю навантаження. Як показують опити,
пластичні матеріали за певних умов навантаження і температурі
поводяться, як крихкі, у той же час крихкі матеріали в певних напружених
станах можуть поводитися, як пластичні. Так, наприклад, при напружених
станах, близьких до всебічного рівномірного розтягання, пластичні
матеріали руйнуються, як крихкі. Такі напружені стани прийнято називати
«жорсткими». Досить «м’якими» є напружені стани, близькі до всебічного
стиску. У цих випадках крихкі матеріали можуть поводитися, як пластичні.
При всебічному рівномірному стисканні матеріали можуть витримувати, не
руйнуючись, дуже великі тиски.
. Вплив типу напруженого стану може бути враховано приблизно за
допомогою діаграм механічного стану, які розглядаються нижче.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
