Вільні коливання систем із кінцевим числом ступенів свободи (загальний випадок). Основний спосіб (рівняння Лагранжа). Прямий спосіб
Як уже говорилося (див. п.1.4 ), диференціальні рівняння руху таких систем можна одержати трьома основними способами: 1) у формі рівнянь Лагранжа; 2) прямим способом; 3) зворотним способом.
Найбільш загальний вид диференціальних рівнянь руху може бути отриманий у формі рівнянь Лагранжа:
, (29)
де K і П – кінетична і потенційна енергії відповідно; і – узагальнені координати й узагальнені швидкості; число ступенів свободи системи.
Відомо, що при малих коливаннях біля положення рівноваги кінетична і потенційна енергії виражаються через узагальнені координати й узагальнені швидкості в такий спосіб:
; , (30)
де інерційні коефіцієнти; квазіпружні коефіцієнти, називані також узагальнені коефіцієнти жорсткості.
Підставляючи (30) у (29), одержимо систему однорідних лінійних диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтами
, (31)
Однак упорядкування рівнянь руху за схемою Лагранжа не є обов’язковим, тому що в багатьох випадках прямий або зворотний способи виявляються більш зручними.
Розглянемо особливості названих способів на прикладі системи з двома ступенями свободи, що складається з тіл із масами і , з’єднаних пружинами з жорсткостями і (мал.22,а).
За узагальнені координати приймемо горизонтальні переміщення і вантажу, що відраховуються від положення рівноваги, у яких відсутні деформації пружин. Подовження пружин у процесі руху: ; .
Основний спосіб (рівняння Лагранжа).
Кінетична енергія розглянутої системи
.
Потенційна енергія деформації пружин
.
Обчислимо похідні, необхідні для підстановки в рівняння Лагранжа:
; ;
; ;
; .
Підставляючи обчислені значення в (29), одержимо диференціальні рівняння руху розглянутої системи
(32)
Прямий спосіб.
Виділяємо маси й і розглядаємо їх як вільні тіла під дією сил пружності, обумовлених подовженнями й обох пружин (мал.22,б):
Диференціальні рівняння руху вантажів мають вид
Підставляючи значення і , одержимо:
таким чином, рівняння збіглися з рівняннями (32).
а) б)
в)
Мал. 22
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
