Вираження напруг через зусилля. Диференціальне рівняння вигнутої
серединної поверхні пластинки
Вираження напружень через зусилля
Формули, виведені в попередньому параграфі, дозволяють визначати моменти
й поперечні сили в будь-якій точці серединної площини пластинки. По їх
значенню можна знайти напруження в будь-якій точці пластинки. Дійсно,
порівнюючи вирази нормальних напружень (5.6) з формулами згинальних
моментів (5.8), одержуємо
. Таким чином, формули (а) приймають вид, відомий з курсу опору
матеріалів:
:
– момент опору прямокутного перерізу шириною, рівній одиниці.
З порівняння формул (5.6) і (5.10) треба
.
:
.
Вертикальні дотичні напруження визначаємо з порівняння формул (5.6) і
(5.9):
;
.
:
;
.
Диференційне рівняння зігнутої серединної поверхні пластинки
.
????????????H?H??????
l
p
x
x
z
–
?
H
???????H?Виріжемо із серединної площини пластинки нескінченно малий
елемент розмірами і покажемо прикладені до нього зусилля (рис. 5.5).
Рис. 5.5. Зусилля в нескінченно малому елементі
На грані діє поперечна сила . На грані , що відстоїть від грані на
нескінченно малій відстані , поперечна сила одержує нескінченно мале
збільшення і дорівнює .
Аналогічно, на гранях і діють відповідно поперечні сили й . Нормально
до серединної площини діє поверхневе навантаження інтенсивністю .
Для того щоб розглянутий елемент серединної площини перебував у
рівновазі, повинні задовольнятися шість умов рівноваги: три рівняння
проекцій сил на координатні осі і три рівняння моментів щодо цих осей.
При цьому всі зусилля варто множити на довжину грані, по якій вони
діють.
Спроектуємо всі сили, зображені на рис. 5.5, на вісь :
.
Після спрощення одержуємо
. (5.12)
Рівняння моментів всіх сил щодо осі має вигляд
Після спрощення одержуємо
. (5.13)
Аналогічно, з рівняння моментів щодо осі виходить
. (5.14)
Виключимо з рівнянь (5.12)-(5.14) поперечні сили. У результаті одержимо
.
Підставимо в це рівняння вирази моментів (5.8) і (5.10):
,
звідки після спрощення
, (5.15)
або
. (5.16)
Одержали основне рівняння згинання пластинки, яке звичайно називається
рівнянням Софі Жермєн. При його інтегруванні з’являться довільні
постійні, які повинні бути визначені з умов на контурі пластинки, що
залежать від характеру закріплення її країв.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
