Круглі конструктивно ортотропні пластини
Прикладом таких пластин можуть служити пластини із часто розташованими
кільцевими ребрами (рис. 12.27, а), пластини із прямокутним гофруванням
(рис. 12.27, б) і т.п. Зазначені пластини мають різну жорсткість у
радіальному і в окружному напрямку.
Неоднорідність пружних властивостей пластини по різних напрямках
пояснюється в цьому випадку не властивостями матеріалу, що
передбачається ізотропним, а конструкцією пластини. Тому останні і
одержали назву конструктивно ортотропних. Строго говорячи, згинальна
жорсткість таких пластин змінюється по радіусу за періодичним законом;
між ребрами жорсткість має одне значення, а в місцях розташування ребер
– інше. Однак, якщо ребра або гофри розташовані досить часто; то при
дослідженні деформацій і напружень можна вважати, що жорсткості в
радіальному і окружному напрямках мають деякі осредненні значення,
постійні або плавно змінюються по радіусу.
Рис. 12.27. Круглі конструктивно ортотропні пластини
, одержимо наступні вирази для деформацій і напружень:
(12.87а)
у ребрі
— кут повороту нормалі до серединної площини;
z — відстань, відлічувана від серединної площини.
Інтегруючи напруги по товщині пластини й по площі F перетину ребер,
визначимо згинальні моменти (на одиницю довжини):
(12.88)
або
(12.89)
де t — крок ребер;
— згинальна жорсткість гладкої пластини;
— наведені жорсткості в радіальному і окружному напрямках;
— момент інерції перетину ребра.
Підставимо вирази моментів (12.88) і (12.89) у рівняння рівноваги
елемента круглої осесиметричної пластини (12.32); після нескладних
перетворень одержимо розв’язне диференціальне рівняння
Рішення відповідного однорідного рівняння шукаємо у вигляді
Підстановка цього виразу в рівняння (12.90) при правій частині, рівної
нулю, приводить до характеристичного рівняння
(12.91)
корні якого відповідно рівні
(12.92)
Тоді загальне рішення однорідного рівняння
(12.93)
Частне рішення рівняння (12.80) залежить від виду навантаження. Якщо,
наприклад, пластина навантажена по всій площині рівномірним тиском q,
Н/див2, то
і рівняння. (12.90) приймає вид
Частне рішення цього рівняння шукаємо також у вигляді статечної функції
Підставимо цей вираз в рівняння (12.90):
Це рівність повинне виконуватися при будь-якому значенні r, звідси треба
Таким чином, частка рішення рівняння (12.90) для випадку навантаження
рівномірним тиском
(12.94)
і загальне рішення
(12.95)
Для гофрованої пластини (рис. 12.27, б) диференціальні рівняння
виводиться аналогічно. У результаті виходить те ж рівняння (12.90), але
при інших значеннях згинальних жорсткостей:
(12.96)
де t — крок гофрування;
s — розгорнута довжина середньої лінії однієї гофри;
h — товщина, що у цьому випадку передбачається постійною;
— момент інерції перетину одного гофра щодо осі, що збігає із
серединною площиною.
Формули для згинальних моментів і напруг у гофрованій пластині мають
вигляд
(12.97)
(12.98)
де — найбільша відстань від серединної площини пластини.
Розрахунок круглих пластин з радіальними ребрами також може, бути
виконаний за схемою конструктивної ортотропії (при досить великій
кількості ребер). Однак цей випадок – більше складний, тому що відстань
між ребрами змінюється по радіусі пластини й тому згинальна жорсткість
також змінна. Крім того, при однобічному розташуванні ребер істотного
значення набуває розтягання серединної площини, у результаті чого
нейтральний шар виявляється зміщеним щодо серединної площини.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
