Осесиметрична деформація тороїдальных оболонок
Деталі конструкцій, що мають форму тороідальної оболонки, застосовуються
в машинобудуванні досить часто. Прикладами можуть служити корпуси
насосів і гідромуфт, резервуари, гофровані коробки (сильфони) і ін.
Форма тороідальної оболонки характеризується радіусами r0 і R0 (рис.
13.91), а також параметрами:
(13.375)
Головні радіуси кривизни в довільній точці серединної поверхні
відповідно рівні
Рис. 13.91. Тороідальна оболонка
Загальні розв’язні рівняння осесиметричної деформації оболонок обертання
(13.274) і (13.276) при підстановці в них значень радіусів кривизни
(13.376) приймають наступний вид:
(13.377)
де
(13.379)
Рівняння (13.377) можуть бути вирішені в рядах або асимптотичним
методом, а також чисельним методом.
Приведемо рішення, засноване на використанні розв’язного рівняння в
комплексній формі.
наступною залежністю:
(13.380)
Загальні розв’язні рівняння осесиметричної деформації (13.274), і
(13.276) перетворяться до одного диференціального рівняння другого
порядку:
(13.381)
де
— осьова складова зусилля в окружному перетині оболонки, віднесена до
одиниці полярного кута;
— інтенсивності нормальних сил, обчислені по безмоментній теорії.
по наступних формулах:
позначені дійсна частина й коефіцієнт при мнимій частині відповідної
комплексної функції.
й Q прийняті напрямки, протилежні зазначеним, і відповідно знаки у
формулах змінені на зворотні.
Рис. 13.92. Позитивні напрямки силових факторів
Застосуємо рівняння (13.381) до тороідальної оболонки. Підставивши
значення радіусів кривизни, одержимо
(13.384)
Уведемо позначення для параметра, що характеризує геометрію оболонки:
(13.385)
Після нескладних перетворень, з урахуванням прийнятих позначень (13.375)
і (13.385), рівняння (13.384) приводиться до наступного виду:
, що входить у праву частину рівняння (13.375), залежить від
навантаження. На оболонку можуть діяти навантаження наступних видів:
осьова сила P, Н, радіальна сила q, Н/см, рівномірно розподілений момент
m, Н см/см (рис. 13.93, а); нормальний тиск p, Н/см2; останнє може мати
постійну складову p0 і змінну складову від обертання рідини, що заповнює
оболонку; повний тиск дорівнює
(13.387)
де
— кутова швидкість рідини;
r — поточний радіус;
— радіус, що відповідає тій точці, де тиск
Тиск рідини від її власної ваги звичайно можна не враховувати.
варто дорівняти нулю.
а б
Рис. 13.93. Тороідальна оболонка заповнена рідиною частково
При відсутності обертової рідини другий доданок у формулі (13.387) варто
відкинути; якщо ж інерційне навантаження виникає внаслідок обертання
самої оболонки, то інтенсивність цього навантаження
спрямоване перпендикулярно осі оболонки. Розклавши його на нормальну й
дотичну складові, одержимо
(13.390)
де
— питома вага матеріалу оболонки;
— кутова, швидкість оболонки.
(13.391)
Для оболонки із днищами, частково заповненою обертовою рідиною, при
наявності тиску p0 (рис. 13.93,б)
Підставивши під знак інтеграла вираз (13.387) і виконавши інтегрування,
одержимо
(13.392)
Помітимо, що іноді замість величини Q0 використовується величина A,
пов’язана з Q0 залежністю
v
x
z
|
?
?
–
?
?
x
|
?
gdeaK ?
o
o
😕
?
o
o
oe
o
8:–
?
?
?
¬
®
°
?
¶
?
?
E
I
I
?
O
a
ae
ae
??
?Й???
?
®
°
¶
?
I
I
I
O
ae
ae
ae
, мабуть, дорівнює нулю.
Обчислимо осьове зусилля в поточному перетині, що доводиться на одиницю
полярного кута:
(13.394)
Підставивши у формулу (13.382) і взявши до уваги рівності
одержимо вираз функції в загальному виді, тобто при одночасній дії всіх
розглянутих навантажень
(13.395)
Розв’язне рівняння (13.382) і вхідна в нього функція мають особливість:
при що складаються, утримуючі , у знаменнику звертаються в
нескінченність. Для усунення цієї особливості замінимо комплексну змінну
нової комплексної змінної відповідно до залежності
(13.396)
Продиференціював рівняння (13.386) по і підставивши вираз (13.396),
одержимо розв’язне рівняння тороідальної оболонки, не утримуючої
особливості:
(13.397)
де
(13.398)
Напишемо ще вираз силових факторів і переміщень залежно від функції . На
підставі формул (13.383) з урахуванням рівності
а також залежностей (13.394), (13.395) і (13.396) одержимо
(13.399)
(13.400)
При виводі останньої формули використана залежність
отримана з рівняння (13.386) з урахуванням співвідношення (13.396). Кут
повороту нормалі й згинальних моментів визначають по наступних формулах:
(13.401)
(13.402)
(13.403)
(13.404)
Диференціальне рівняння (13.397) може бути проінтегровано різними
методами. Якщо параметр великий, [ див. (13.385)], то достатню точність
забезпечує метод асимптотичного інтегрування. При виконанні розрахунків
по цьому методу варто користуватися таблицями спеціальних функцій. При
малих значеннях параметра рішення може бути отримане в рядах.
При рішенні рівняння (13.397) чисельним методом його необхідно
представити в безрозмірній формі, що досягається множенням всіх членів
рівняння на деякий постійний розмірний множник.
Рішення задачі про осесиметричну деформації тороідальної оболонки також
можна одержати шляхом чисельного інтегрування загальних рівнянь
осесиметричних оболонок (13.372)-(13.374).
Приклад. Визначити напруження в тороідальній оболонці, зображеної на
рис. 13.94, а. Дано: h = const; r0 = 10h; R0 = 5r0; = 0,3; .
Рішення.
Застосуємо метод розрахунку, викладений в 13.4.5. У цьому випадку в
рівняння (13.372) варто підставити
У результаті рівняння приймає вид
Уважаючи, що пластини, з якими сполучається оболонка, абсолютно жорсткі,
і, з огляду на симетрію оболонки, одержимо наступні рівняння граничних
умов:
при , тобто
при , тобто .
Так як відомі тільки два початкових параметри, застосуємо спосіб трьох
розрахунків. Шуканий вектор X представимо у вигляді суми
У першому й другому розрахунку задане навантаження не враховуємо, тобто
останній доданок у диференційному рівнянні відкидаємо. Початкові
значення вектора X у першому й другому розрахунку приймаємо наступні:
Третій розрахунок виконуємо з урахуванням заданого навантаження при
нульових значеннях початкових параметрів.
Диференційне рівняння (13.372) інтегрується по методу Рунге – Кутта по
стандартній програмі.
а
б
в
Рис. 13.94. До прикладу 13.33
Значення компонентів вектора X у кінцевій точці (при )
Граничні умови при приводять до двох рівнянь:
з яких знаходимо
Далі неважко обчислити компоненти сумарного вектора X і по них знайти
значення величин і . Значення інших силових факторів визначаються
відповідно до формул (13.364) – (13.367).
На рис.13.94,б наведені епюри меридіонального згинального моменту.
Суцільною лінією ‘показана епюра сумарного моменту, а штриховою лінією –
епюра, побудована за результатами тільки третього розрахунку. Величина
максимального моменту, знайдена за результатами третього розрахунку,
тобто без врахування граничних умов, досить близька до дійсного.
У тому випадку, коли жорсткість пластин не нескінченна, сполучення
оболонки із пластиною варто розглядати як пружне затиснення.
Відокремивши оболонку від пластини (рис. 13.94,в) обчислимо кут повороту
нормалі на краю пластини:
де — згинальна жорсткість пластин.
З урахуванням знайденої величини кута приймемо наступні значення
початкових параметрів першого, другого й третього розрахунків:
Неважко перевірити, що при цих початкових значеннях вектора X умови
сполучення оболонки й пластини виконуються.
Подальше рішення не відрізняється від викладеного вище. Постійні
множники C1 і C2 визначаються із граничних умов при .
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
