Об’ємна деформація. Рівняння нерозривності деформацій. Тензор
деформацій. Головні деформації
Об’ємна деформація
З точністю до нескінченно малих вищого порядку можна вважати, що зміна
об’єму обумовлена тільки зміною довжини ребер і не пов’язане зі зміною
кутів зсуву.
(рис.1.5), після деформації, згідно (1.31), складе
або, з огляду на (1.36),
. (1.37)
Аналогічно
(1.38)
Добуток довжин ребер (1.37), (1.38) дає величину нового об’єму
паралелепіпеда:
одержимо
Позначимо відносну зміну об’єму
тоді
(1.39)
Об’ємна деформація дорівнює сумі лінійних деформацій по трьох взаємно
перпендикулярних напрямках.
З огляду на (1.36), об’ємну деформацію можна виразити через складові
переміщення:
(1.40)
Рівняння нерозривності деформацій
Співвідношення Коші (1.36) зв’язують між собою шість складової
деформації й три складові переміщення, але цей зв’язок не є взаємно
однозначним. Якщо задані три складові переміщення, то шість складових
деформації визначаються однозначно. Якщо ж задані шість складової
деформації, то для визначення трьох складові переміщення потрібно
проінтегрувати шість диференціальних рівнянь у частинних похідних. При
довільному виборі складових деформації шість рівнянь із трьома
невідомими не завжди можуть бути розв’язані однозначно, тому між шістьма
складовими деформації повинні існувати певні залежності.
Виключимо складові переміщення з рівнянь (1.36).
Складемо два останніх вирази:
й тоді
(1.42)
Аналогічно для двох інших координатних площин
(1.43)
Рівняння (1.42), (1.43) означають, що якщо задані дві лінійні деформації
у взаємно перпендикулярних напрямках, то кутову деформацію в площині цих
лінійних деформацій не можна задати довільно. Для забезпечення
однозначності розв’язку цих рівнянь недостатньо, тому що вони отримані
диференціюванням, а при цьому порядок диференціального рівняння
підвищується й можлива поява нових розв’язків, які не задовольняють
вихідному рівнянню.
Продиференціюємо три останніх рівняння (1.36):
(1.44)
Складемо перші два рівняння й віднімемо третє:
і, враховуючи, що
одержимо
(1.45)
Ще два рівняння записуються аналогічно:
????????????H?H??????
†
?
1/4
A
?
u
ue
??l
p
°
?
3/4
A
yt ZB
j
j
Таким чином, отримана система шести диференціальних рівнянь у частинних
похідних:
(1.47)
Рівняння (1.47) називаються рівняннями нерозривності деформацій
Сен-Венана.
Тензор деформацій. Головні деформації
Взаємозв’язок теорії напруг і теорії деформацій виражається в
математичній аналогії: всі формули теорії деформації можна одержати з
аналогічних формул теорії напруг, якщо в останніх замінити нормальні
напруги лінійними деформаціями, а дотичні – половинами кутових
деформацій.
В зв’язку з цим лінійна деформація по довільному напрямку , заданому
напрямними косинусами визначається аналогічно залежності (1.7):
(1.48)
Кутова деформація в довільній площині , заданій векторами й з
напрямними косинусами й визначається формулою, аналогічною (1.10):
(1.49)
Аналогічно тензору напруг деформований стан тіла в даній точці
описується тензором деформацій
(1.50)
Тензор деформацій можна розкласти на кульовий тензор і деіиатор
деформацій:
(1.51)
де
(1.52)
Величина — це середня деформація в точці; — одиничний тензор,
обумовлений формулою (1.22), — девіатор деформацій:
(1.53)
Девіатор деформацій характеризує зміну форми тіла в околиці розглянутої
точки, тому що об’ємна деформація, рівна сумі компонентів головної
діагоналі девіатора деформацій, відсутня:
Аналогічно головним напругам можна знайти головні деформації, тобто такі
деформації, в площині яких відсутні зсуви. Ці деформації визначаються,
як і головні напруги, з кубічного рівняння, коефіцієнти якого являють
собою інваріанти деформованого стану:
(1.54)
Таким чином, об’ємна деформація (1.39) є інваріантом стосовно вибору
системи координат.
Напрямки трьох головних деформацій взаємно перпендикулярні й називаються
головними осями деформацій. По напрямках цих осей можливе тільки
розтягання або стиск, а зсуви відсутні.
Аналогічно інтенсивності дотичних напружень (1.26) в теорії деформації
використовується інваріант, який називається інтенсивністю деформації
зсуву, і такий, що представляє собою подвоєний кут зсуву в площині
октаедричної площадки:
(1.55)
Інтенсивності напруг (1.27) в теорії деформацій відповідає інтенсивність
деформації:
(1.56)
За аналогією з напрямним тензором напруг вводиться поняття напрямного
тензора деформацій, під яким розуміється девіатор деформацій, кожний
компонент якого розділений на половину інтенсивності деформацій зсуву:
(1.57)
Як і напрямний тензор напруг, направляючий тензор деформацій визначає
тільки головні напрямки деформацій і співвідношення між компонентами
тензора деформацій, але не визначає їхнього значення.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
