Вибір матеріалу й раціональних форм поперечних перерізів для стиснених
стрижнів. Поздовжньо-поперечний згин
для різних сталей практично однакові.
Для стрижнів малої гнучкості застосування спеціальних високосортних
сталей доцільно, тому що в цьому випадку підвищення границі текучості
стали збільшує критичні напруження, а отже, і запас стійкості.
при певній площі є найбільшою. Для зручності порівняння різних
перетинів введемо безрозмірну характеристику
,
для деяких перетинів:
Куточок
Двотавр
Швелер
Квадрат
Коло
2, 25-1,64
1, 2-1,00
0, 5-0,3
0, 41-0,27
0, 41-0,29
0,289
0,283
.
Аналіз даних показує, що найбільш раціональні трубчасті тонкостінні
перетини. Настільки ж раціональне й коробчасті тонкостінні перетини.
Однак варто помітити, що при проектуванні тонкостінних трубчастих і
коробчастих перетинів необхідно передбачати постановку діафрагм (ребер
жорсткості) на певних відстанях по довжині стрижня. Ці діафрагми
перешкоджають появі місцевих деформацій (покороблених стінок). Найменш
раціональні суцільні прямокутні перетини.
При розрахунку стиснутих стрижнів на стійкість варто прагнути до того,
щоб вони були равностійкими у всіх напрямках. Для цього проектувати
перетини треба так, щоб головні моменти інерції були по можливості
однаковими. Трубчасті перетини раціональні і з цього погляду. Цьому
критерію задовольняють також квадратні й круглі перетини. Нераціонально
застосовувати двотаврові перетини й перетини у вигляді прямокутника.
Однак якщо наведені довжини в головних площинах різні, той і головний
моменти інерції також варто проектувати різними, для того щоб величини
гнучкостей стрижня в обох головних площинах були однаковими або хоча б
близькими між собою. Якщо не вдається зробити гнучкості однаковими, то
розрахунок варто вести по максимальній гнучкості.
Поздовжньо-поперечний згин
Згин прямого бруса називається поздовжньо-поперечним, якщо в його
поперечних перерізах виникають згинальні моменти як від поздовжніх, так
і від поперечних навантажень (рис. 14.12).
Рис. 14.12. Поздовжньо-поперечний згин
При розрахунку на поздовжньо-поперечний згин згинальні моменти в
поперечних перерізах обчислюють із урахуванням прогинів осі бруса:
— повний згинальний момент;
— момент від поперечного навантаження;
.
. Зовсім очевидно, що якщо осьові сили стискаючі, повний прогин більше
прогину від одного тільки поперечного навантаження.
, прикладені на вільному кінці, що збігається з початком координат.
Рис. 14.13. Точний метод розрахунку
У цьому випадку диференціальне рівняння пружної лінії запишеться так:
— повний згинальний момент у довільному перетині балки.
завжди мають протилежні знаки. Для нашого випадку вираз (14.44)
потрібно представити так:
двічі, одержимо
з рівняння (14.45), запишемо
. (14.48)
Увівши позначення
, (14.49)
одержимо диференціальне рівняння для згинальних моментів:
. (14.50)
Загальний інтеграл рівняння (14.50) буде наступним:
, одержимо рівняння для поперечних сил:
. (14.52)
Фізичний зміст постійних інтегрування встановимо, розглядаючи початкові
умови:
відповідно. Тоді рівняння згинальних моментів при
поздовжньо-поперечному згині прийме вид
. (14.55)
Щоб одержати загальне рівняння для згинальних моментів при дії
стискаючої сили й різних зосереджених або розподілених зовнішніх
навантажень, можна застосувати метод початкових параметрів. Дійсно,
рівняння (14.55) складено з урахуванням одночасної дії поздовжньої сили
й поперечних навантажень, і, виходить, тут може бути застосовано принцип
незалежності й додавання дії сил.
.
Рис. 14.14. Одночасна дія різних навантажень
відповідно. Тоді аргументами тригонометричних функцій у формулі
(14.55) будуть відрізки
і рівняння для згинальних моментів прийме вид
, то потрібно ввести суми. Тоді одержимо
(рис. 14.14):
d
f
j8
, одержимо універсальне рівняння для моментів при повздошно-поперечному
згині:
, одержимо рівняння для поперечних сил:
. (14.60)
Порядок застосування цих рівнянь до рішення задач принципово той же, що
й у розглянутих випадках застосування методу початкових параметрів.
Початкові параметри визначаються із крайових умов балки. У загальному
виді ці умови можна представити так:
а) для шарнірно обпертої балки
;
б) для консольної балки з лівим затисненим кінцем
; (14.64)
в) для консольної балки із защемленням праворуч
— моменти й поперечні сили в кінцевих перетинах балки тільки від
поперечного навантаження.
не дає поперечної складової, тому що дотична до осі балки тут
горизонтальна.
у будь-якому перетині балки. Знаючи величини згинальних моментів,
можемо обчислити найбільше нормальне напруження:
. (14.67)
Для визначення прогинів скористаємося рівнянням (14.44), звідки одержимо
.
Рішення.
Становимо рівняння моментів і поперечних сил:
;
.
Граничні умови розглянутої балки наступні:
.
:
.
Друга гранична умова дає
,
звідки
.
:
.
, то при
;
;
;
.
знайдемо, що
.
Найбільші напруги обчислюємо по формулі (14.67):
.
Наближений розрахунок. У практичних розрахунках широко поширені
наближені способи рішення, засновані на допущенні, що вигнута вісь балки
при поперечному навантаженні приймає форму синусоїди, тобто
. (14.69)
При наявності поздовжньої сили також приблизно приймають, що
.
Диференціальне рівняння пружної лінії
(14.71)
при подовжньо поперечному згині балки з урахуванням вираз (14.46)
запишеться так:
і врахувавши допущення (14.69) і (14.70), знаходимо, що
. (14.73)
Тоді після диференціювання
. (14.74)
Введемо позначення
, обумовленому по формулі (14.14). З рівняння (14.74) знайдемо вираз для
прогину посередині прольоту балки при спільній дії поздовжнього й
поперечного навантажень:
повинна обчислюватися по формулі (14.14) при будь-якій гнучкості балки
(навіть меншої граничної). Обчислюючи ейлерову силу, момент інерції
варто брати щодо тої з головних осей інерції перетину, що
перпендикулярна до площини дії поперечного навантаження.
Вираз (14.76) звичайно застосовують і при інших опорних закріпленнях
стиснуто-зігнутих балок. У цьому випадку ейлерова сила повинна
обчислюватися по формулі (14.20):
.
.
Припускаючи, що згинальні моменти пропорційні прогинам, одержимо просту
формулу для наближеного визначення величини найбільшого моменту при
повздошно-поперечному вигині:
. (14.77)
Тоді для обчислення найбільших напружень, відповідно до виразів (14.67)
і (14.77), одержимо формулу
.
Рис. 14.15. Наприклад 14.4
по формулі (14.75):
Обчислюємо момент посередині прольоту для випадку поперечного згину:
,
а потім по формулі (14.77) знаходимо найбільший момент при
поздовньо-поперечному згині:
.
Найбільші напруження обчислюємо по формулі (14.67):
.
Визначення допустимого навантаження, що, при повздошно-поперечному
вигині. Розрахунок на повздошно-поперечний згин має ту особливість, що
напруження при збільшенні навантаження зростають значно швидше останньої
(рис. 14.16). (Графік на малюнку побудований по формулі (14.78)
відповідно до даних приклада 14.4). Така ж нелінійна залежність
напружень від навантаження має місце в будь-якої задачі
повздошно-поперечного згину.
Рис. 14.16. Графік залежності напружень від навантаження
, то забезпечений запас міцності по напруженнях:
, тобто
), щоб напруження досягли границі текучості, а це практично відповідає
руйнуванню балки. Звідси необхідно зробити висновок, що розрахунок
сжато-зігнутих балок варто вести не по допустимим напруженням, а по
допустимому навантаженню
.
.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
