Основні залежності теорії тонкостінних профілів
Послідовне використання гіпотези плоских перерезів при рішенні задачь
згину балок привело до виводу, що згин без крутіння можливий тільки в
тому випадку, коли рівнодіюча навантаження, що діє на відсічену частину
балки, проходить у кожному перерезі через так званий центр згину. Це
обмеження в ряді практично важливих випадків не дотримується. Крім того,
завдачі про крутіння тонкостінних профілів, що неможна вирішити на
основі гіпотези плоских перерезів, сама по собі представляє великий
практичний інтерес.
Особливе значення завдачі про крутіння тонкостінних профілів придбало
останнім часом у зв’язку з появою нових типів судів, що мають великі
вирізи в палубах. Корпуса таких судів у відомій мірі наближаються до
відкритих профілів, і виникаючі в них додаткові нормальні напруги від
крутіння можуть досягати значної величини.
У задачах вигину тонкостінних стрижнів (з урахуванням крутіння) істотне
значення має скривлення спочатку плоских поперечних перерізів
(депланація). Оскільки депланація різна в різних перерізах, у волокнах
з’являються додаткові нормальні напруги, що, у свою чергу, впливає на
вигин балки.
Деформація балки одержує згинально-крутильний характер.
Багато завданнь що нас цікавлять, можна вирішити, якщо замість гіпотези
плоских перерезів прийняти гіпотезу о недеформуванні контуру поперечного
переріза, зберігти припущення про відсутність зсуву між поздовжніми і
поперечними волокнами в середньому по товщині шарі (серединної поверхні)
тонкостінного стрижня.
Гіпотеза про недеформованість контура поперечного переріза полягає в
тому, що поперечний переріз стрижня розглядається як недеформуваний у
своїй площині диск, у якому, однак, допускається вихід із площини точок,
що лежать до деформації в одній площині.
Використовуєма раніше гіпотеза плоских перерезів є, по суті, гіпотезою о
недеформованості контура при додатковому обмеженні: точки, що лежали до
деформації в площині поперечного переріза, залишаються в одній площині й
після деформації. Тому гіпотеза плоских перерезів – окремий випадок
гіпотези про недеформований контур поперечного переріза.
сполучати з головними центральними осями інерції площі поперечного
переріза. Такий вибір розташування осей призводить у задачах згину до
роздільних диференціальних рівнянь; система координат, як і раніше,
права.
(рис. 8.1); положення її буде визначено нижче.
Рис. 8.1. Довільний поперечний переріз тонкостінного стрижня
).
Координати точок в серединній поверхні перерізу профілю будемо вважати
функціями довжини дуги, відлічуваної від деякої точки (положення її на
контурі буде також визначено нижче).
Таким чином,
(8.1)
.
.
на позитивний напрямок дотичної до контуру, показане на рис. 8.1
стрілкою.
відповідно. Ці проекції вважаються позитивними, якщо переміщення
відбуваються в позитивних напрямках відповідних осей.
Відповідно до гіпотези про недеформований контур поперечного переріза
варто вважати, що (рис. 8.1)
повного переміщення при обертанні.
Величина
, (8.3)
на дотичну до контуру, так що вираз (8.2) може бути переписаний у
вигляді
(8.4)
.
.
спрямована в позитивному напрямку дотичної і при переміщенні цих точок
по контурі в позитивному напрямку радіус-вектори обертаються також у
позитивному напрямку.
по контуру в позитивному напрямку.
.
і точок контуру в напрямку осі ох скористаємося допущенням про рівність
нулю деформацій зсуву в серединній поверхні:
(8.5)
звідки виходить
, (8.6)
— довільна функція інтегрування.
Підставляючи у формулу (8.6) вираз (8.4) і зауважуючи, що при прийнятому
правилі знаків
, (8.7)
після інтегрування знайдемо
, (8.8)
де
(8.9)
є так звана секториальная площа.
із крайніми точку дуги контуру (рис. 8.3).
.
При переміщенні точки по контуру в позитивному напрямку дуги
секториальна площа зростає, якщо радіус-вектор повертається проти
годинникової стрілки.
, можна переписати вираз (8.8) у вигляді
. (8.10)
Рис. 8.3. Секториальна площа
.
.
Для визначення нормальних напруг потрібно скористатися законом Гука.
, (8.11)
або після підстановки (8.10)
. (8.12)
Вираз (8.12) узагальнює відому формулу технічної теорії вигину балок.
Перші три члени в правій частині (8.12) дають напругу від розтягання
(стискання) стержня та вигину його відповідно до гіпотези плоских
перерезів, коли напруги лінійно залежать від координат у площині
перерізу. Останній член представляє напруги, викликані нерівномірною по
довжині стержня депланацієй поперечних перерізів.
Дотичні напруження неможливо визначити за допомогою закону Гука, тому що
по припущенню деформація дорівнює нулю. Тому для визначення дотичних
напружень варто розглянути умови рівноваги відсіченої частини профілю.
позитивний напрямок напруг, зусиль і обходу по контурі показане
на рис. 8.4.
Рис. 8.4. Позитивний напрямок напружень, зусиль і обходу контуру
.
Рівнодіюча нормальних напружень, що діють у лівому поперечному перерізі
стержня, визначиться виразом.
,
$
6
?
i
XZ~?Oeb
|
”
c
?
Ue
j
, одержимо
.
Отримане рівняння легко перетвориться до виду
(8.13)
де
(8.14)
є сума погонних зусиль, що діють на зовнішні крайки відсіченої частини
профілю.
Підставляючи в (8.13) формулу (8.12), одержимо наступний вираз для
визначення дотичних напружень:
(8.16)
. (8.17)
Виразами (8.16) визначається площа поперечного перерізу і статичні
моменти площі відсіченої частини.
До виразу (8.17) введена нова характеристика, яку називають
секторіальним статичним моментом площі; секторіальні характеристики
перерезів будуть вивчені в наступному параграфі.
Варто пам’ятати, що інтеграли (8.16) і (8.17) обчислюються як інтеграли
по контуру, а не по площі.
.
, задовольняються внаслідок використання при визначенні дотичних
напружень теореми про парність дотичних напружень.
— сумі погонних дотичних зусиль, що діють на кінцеві крайки стержня, на
яких закінчується позитивний напрямок обходу.
.
Таким чином, рівняння рівноваги в проекціях на вісь ох можна записати у
вигляді
, (8.18)
де
. (8.19)
є погонна інтенсивність навантаження, що діє в напрямку осі ох (крім
крайкових зусиль), і інтеграли обчислюються по всьому контуру
поперечного профілю.
визначаються відповідно по виразах
як це виходить із співвідношень (8.7).
повинне бути записане у вигляді
,
або
; (8.20)
погонного навантаження; позитивні при дії в позитивних напрямках
відповідних осей.
по найкоротшому напрямку.
в лівому перерезі визначиться по формулі (рис. 8.1)
,
так що рівняння моментів можна переписати
або
(8.22)
де
— інтенсивність крутного моменту від зовнішнього навантаження;
показаний на рис. 8.5.
Рис. 8.5. До складання рівнянь моментів
(рис. 8.5), знайдемо
— повний крутний момент у перерезі стрижня.
кут закручування на одиницю довжини, і йому пропорційні деформації
зсуву й дотичні напруги в поперечному перерізі. Тому і крутний момент
чистого крутіння в кожному перерезі стрижня виявляється пропорційним цій
величині, і його можна визначити залежністю
— жорсткість при чистому крутінні.
Дотичні напруження при чистому крутінні розподіляються по перерізу
профілю нерівномірно, тому що вони повинні зрівноважити крутний момент.
В тонкій скручуваємої полосі, дотичні напруження при чистому крутінні
змінюються по товщині за лінійним законом і обертаються в нуль у
серединній площині.
Неважко встановити правило знаків для крутного моменту.
буде позитивна, якщо правий переріз стержня повернеться щодо лівого
проти годинникової стрілки. Це можливо в тому випадку, коли крутні
моменти спрямовані так, як показано на рис. 8.5.
, на підставі (8.24) одержимо диференціальне рівняння чистого крутіння.
дійсно еквівалентна деякій інтенсивності крутного моменту.
приходиться на долю чистого крутіння, а інтенсивність, що залишилася
.
(8.22), однакова, і для зручності подальших обчислень їх доцільно
перетворити.
).
,
Зауважуючи, що
,
або
,
перетворимо інтеграл до виду
.
Зауважуючи, що згідно (8.13)
на крайках дорівнює відповідному кромочному зусиллю, одержимо
вжиті в роз’ясненому вище змісті (рис. 8.4).
Рівняння рівноваги (8.20)-(8.22) на підставі останньої залежності можна
перетворити в такий спосіб:
сполучені з головними центральними осями інерції площі поперечного
переріза, так що
можуть бути завжди обрані таким чином, що
. (8.29)
Виконуючи зазначену підстановку, одержимо наступну систему
диференціальних рівнянь:
(8.30)
де
— площа поперечного переріза;
;
;
–– головний секторіальний момент інерції площі поперечного переріза;
всі інтеграли обчислюються як контурні.
членом в останнім рівнянні можна зневажити, і тоді рішення розглянутого
завдання буде не складніше, ніж розрахунок призматичної балки.
Праві частини диференціальних рівнянь (8.30) мають простий фізичний
зміст. Наприклад, вираз
, а останні три члени в правій частині другого рівняння (8.30) — похідну
від цієї інтенсивності.
Більш складний фізичний зміст у правої частини останнього рівняння
(8.30), що має розмірність інтенсивності крутного моменту.
і розглянемо роботу поздовжніх зусиль на додаткових переміщеннях,
викликаних депланацієй перерізу. Ці додаткові переміщення визначаються
останнім членом виразу (8.10), тобто
, одержимо наступний вираз для елементарної роботи:
буде дорівнювати (з урахуванням правила знаків)
, (8.33)
тобто, порівнюючи написані вирази, одержимо
. (8.34)
Крутному моменту (8.34) відповідає інтенсивність розподіленого крутного
навантаження , яку можна визначити по формулі (8.23)
.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
