Крутильні коливання валів
Розглянемо крутильні коливання багатомасової системи (мал.26), що є
загальноприйнятою еквівалентною схемою для розрахунку крутильних
коливань колінчатих валів. Колінчатий вал доводиться до еквівалентної
схеми шляхом наступних замін: момент інерції замінюючого диску щодо осі
вала повинний дорівнювати моменту інерції коліна щодо тієї ж осі, при
цьому враховується приєднана маса шатуна; жорсткість на крутіння
замінюючої ділянки вала повинна дорівнювати жорсткості на крутіння
відповідної ділянки колінчатого вала.
Мал. 26
Ці заміни є непоганою апроксимацією, хоча і не забезпечують повної
еквівалентності обох схем. Приведений момент інерції мас коліна і шатуна
змінюється в процесі обертання колінчатого вала, тому заміна коліна
диском із постійним моментом інерції не є суворою. Крім того, при дії на
колінчатий вал двох протилежно спрямованих пар деформація буде полягати
не тільки в закручуванні ділянки між парами: унаслідок вигину
відбудеться закручування й інших ділянок.
Проте, експериментальні дослідження підтверджують прийнятність
еквівалентної схеми при досить ретельному визначенні еквівалентних
моментів інерції й особливо еквівалентних жорсткостей.
– кути поворотів дисків навколо подовжньої осі вала (мал.26,а).
Крутильні моменти, що діють у перетинах вала, залежать від взаємного
повороту двох суміжних дисків і визначаються формулами:
на першій ділянці
;
на другій ділянці
– й ділянці
Рівняння руху зручніше усього складати прямим способом (мал.26,б).
(65)
збігається з числом дисків, тобто з числом ступенів свободи системи.
Одним із рішень системи (65) є
,
(66)
що описує рівномірне обертання вала і дисків як жорсткого цілого.
Крім того, можливе рішення, що описує пружні коливання системи:
(67)
Підставляючи (67) у (65), одержимо
(68)
.
, то ненульове її рішення можна одержати, як це неодноразово робилося
вище, з умови рівності нулю визначника. Розкриваючи визначник, одержимо
частотне рівняння.
:
Звідси одержимо частотний визначник
. (69)
і частотне рівняння
. (70)
коренів (власних частот) відповідають пружним коливанням.
в другому наближенні.
для наступного наближення. Розрахунок повторюється доти, поки не буде
досягнутий задовільний результат в останньому рівнянні.
При реалізації методу зручніше усього використовувати компактну табличну
схему обчислень, основану на співвідношеннях типу
, (71)
який утворюється з рівнянь (68) після додавання перших i рівнянь
системи. Співвідношення (71) виражає рівність крутного моменту у
перетині i-ої ділянки вала (ліва частина) сумі моментів сил інерції всіх
розташованих зліва дисків (права частина).
:
.
:
.
Загальна формула має вид
.
???????
можна переходити до останнього рівняння й обчислювати його ліву
частину. Цей результат повинний дорівнювати нулю, тому що якщо скласти
всі рівняння типу (71), то повинно утворитися:
.
повинний дорівнювати нулю.
(мал.27).
Мал. 27
Точки перетинання кривої із віссю абсцис відповідають дійсним значенням
частот.
Об’єм обчислень може бути значно зменшений, якщо відомі орієнтовані
значення частот, для визначення котрих часто використовують заміну
заданої системи спрощеною трьохмасовою системою.
При записі рішення (67) передбачалося, що коливання є одночастотними,
тобто для будь-якого диска описуються однією гармонікою
.
вимагає узагальнення рішення (67) і запису його у виді
,
де перший індекс в амплітуді означає номер диска, а другий індекс –
номер відповідної частоти.
), тобто додати доданок виду (66), і тоді загальне рішення рівнянь руху
(65) приймає вид
(72)
залежать від номера частоти k і визначають відповідні форми коливань.
Таким чином, для повного рішення задачі необхідно і досить зазначити 2n
початкових умов – кутові зсуви і кутові швидкості всіх n дисків.
При довільно заданих початкових умовах коливання кожного диска будуть
багаточастотними, тобто будуть являти собою суму гармонік. Якщо
початкові умови зсуву відповідають одній з власних форм коливань, то
надалі у процесі буде реалізована ця і тільки ця власна форма, і
відповідна власна частота. У загальному випадку коливання будуть носити
складний характер і являти собою сукупність n форм коливань. Відносне
значення кожного з них залежить від близькості заданої системи
початкових зсувів до тієї або іншої власної форми.
(мал.28,б).
Рішення.
Рівняння руху системи, складені прямим методом, мають вид
Рішення системи шукаємо у виді:
Після підстановки одержуємо систему однорідних алгебраїчних рівнянь
Прирівнюючи визначник системи до нуля і розкриваючи його, одержимо
частотне рівняння
Власні частоти коливань
Нульова частота відповідає повороту вала і дисків як жорсткого цілого.
Для ненульових частот визначаємо власні форми коливань, приймаючи А2 =
1.
Співвідношення між амплітудами
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
