Згинальні коливання балок
Розглянемо випадок, коли обурююче навантаження задане у виді
зосередженої сили
(305)
або комбінації декількох навантажень того ж виду з однаковою частотою.
Рішення для прогинів будемо шукати у виді
(306)
.
, підставляючи в рівняння (192) вираз (306), одержимо
(307)
Рішення диференціального рівняння (307) має вид
(308)
– функції Крилова (198), у яких замість вираження (196) потрібно
прийняти
, які входять у загальне рішення (308), необхідно використовувати
граничні умови. Розглянемо два випадки, що не висвітлювалися при
розрахунку на вільні коливання.
прикладена на кінці балки. Поперечна сила в перетині повинна дорівнювати
цій силі:
і гранична умова приймає вид
.
прикладена в проміжному перерізі балки.
У цьому перетині повинні виконуватися чотири умови сполучення
де а – абсциса перерізу, у якому прикладена змушуюча сила, індекси “-” і
“+” відповідають перетинам, розташованим нескінченно близько зліва і
справа від перетину а.
.
Приведені вище міркування являють собою безпосереднє рішення задачі.
Тепер розглянемо інший спосіб – розкладання рішення в ряд по власних
функціях.
??
j
V
e
l:
?
??????У загальному випадку, коли обурююче поперечне навантаження задане
довільним законом
диференціальне рівняння руху набуває вид
(309)
тобто відрізняється від аналогічного рівняння при вільних коливаннях
наявністю правої частини.
у виді ряду
(310)
Також у виді ряду будемо шукати рішення для прогину
(311)
і проінтегруємо результат по всій довжині балки. Внаслідок
ортогональності власних функцій у правій частині при цьому залишається
тільки один доданок, що відповідає номеру і, так що
(312)
являють собою власні форми задачі про вільні коливання балки (“балкові
функції”). Тому тут також справедлива формула (303), що відноситься до
випадку зосереджених обурюючих сил.
Враховуючи, що кожний доданок ряду (310) викликає рух, що описується
відповідним доданком ряду (311), можна записати (309) у виді
, одержимо
, тому
Загальне рішення цього рівняння має вид
(313)
.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
