Виділення симетричних коливань
Якщо стержнева система має симетричну структуру геометричного порядку,
то власні коливання можуть бути представлені симетричною й
кососиметричною формами. МГЕ дозволяє виділити такі форми без змін
алгоритму розрахунку. Врахування симетричної й кососиметричної форм
коливань заснований на властивостях стержневих систем, що мають осі
(площини) симетрії. При симетричних коливаннях у перерізах стержневої
системи, проведених через осі симетрії, дорівнюють нулю кососиметричні
статичні й кінематичні параметри.
(3.13)
При кососиметричних коливаннях дорівнюють нулю симетричні фактори
(3.14)
Ці рівності випливають із врахування симетрії стержневих систем у
задачах статики. Якщо в методі початкових параметрів важко
використовувати властивість симетрії конструкції, то в МГЕ виділення
симетричних і кососиметричних форм коливань буде полягати лише у
виконанні умов (3.13) або (3.14). При цьому відбудеться скорочення
порядку матричного рівняння (1.46) внаслідок зменшення числа стержнів у
розрахунковій схемі. Розглянемо відповідні приклади.
Приклад 3.2.
Визначити перші частоти вільних симетричних коливань рами (рис. 3.2).
Рис. 3.2
Методом переміщень знайдені 2 перші частоти
(3.15)
Відповідно до алгоритму МГЕ:
стержнів направимо “вниз”, а граф розрахунку представимо стрілками на
рис. 3.2.
, де враховуємо умови обпирання стержнів і симетричні форми коливань
рами
необхідно обнулити 1, 2 і 6 стовпці та ввести ненульові компенсуючі
елементи. Матриця симетричних коливань рами прийме вигляду (3.16)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
–1
3
–1
4
–1
5
1
1
6
–1
7
8
–1
9
10
–1
1
bdfhtvxuueth
gd?\VWkdA
Корені частотного рівняння даної рами типу (3.2), визначені за допомогою
програми, виявилися рівними
.
Приклад 3.3. Визначити перші частоти власних кососиметричних коливань
рами (рис. 3.3). Значення першої частоти отримано методом переміщень К.
Гогенемзером і В. Прагером
.
Рис. 3.3
При кососиметричних коливаннях у перерізі по осі симетрії будуть
дорівнювати нулю симетричні параметри ригеля
.
1. Оскільки рама симетрична, то розглядаємо тільки ліву її частину (рис.
3.3).
2 Формуємо матриці. На відміну від попереднього прикладу, міняються
граничні умови для окремих параметрів. Вони описують кососиметричні
форми коливань.
Матриця кососиметричних коливань рами прийме вигляд
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1
2 1
3 1
4 1
5 1 1
6
7 1
8
9 1
10 1
Корені частинного рівняння даної задачі виявилися рівними
, (3.18)
тобто погрішність першої частоти . У даній задачі не враховувалася сила
інерції ригеля. Якщо приблизно прийняти, що форми коливань стержня 0-1
рами, описувана функцією , то наведена маса цього стержня буде
дорівнювати . Тоді коефіцієнти стержнів рами запишуться так
.
При визначенні частот приймається, що . З урахуванням сили інерції
ригеля частоти кососиметричних коливань рами будуть рівні
(3.19)
і погрішність помітно зменшилася. Тут очевидно, що використано грубе
наближення до дійсній кривої коливань стержня 0-1. Якщо подвоїти
наведену масу, тобто , то частоти
(3.20)
і погрішність стає малою.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
