Згин анізотропних пластин
Прикладами анізотропних пластин, що мають різну згинальну жорсткість по
різних напрямках, можуть служити пластини з фанери, текстоліту,
склопластику т.п.
Якщо анізотропія механічних властивостей підкоряється закону симетрії
щодо деяких взаємно перпендикулярних осей, то такі пластини називають
ортотропними.
До ортотропних пластин відносять також пластини, підкріплені часто
розташованими ребрами або гофровані. В останньому випадку пластини
називають конструктивно ортотропними.
Розглянемо спочатку згин пластин постійної товщини, виготовлених з
ортотропного матеріалу.
, рівняннями узагальненого закону Гука:
– модуль зсуву.
одержимо
(12.193)
Рівняння (12.193) можна записати також в іншій формі:
(12.195)
Покажемо, що між постійними пружності існує залежність
, тоді на підставі принципу взаємності робіт
(робота сил першого стану на переміщеннях другого стану дорівнює роботі
сил другого стану на переміщеннях першого стану). Остання рівність
приводить до залежності (12.196), з якої, у свою чергу, виходить
, для цього вирішимо рівняння (12.194) щодо напружень:
(12.198)
Зіставивши ці рівняння з рівняннями (12.192), знайдемо:
(12.199)
Вивід диференційного рівняння згинання анізотропної пластини заснований
на загальних гіпотезах теорії згину пластин.
Розглянемо спочатку пластини, симетричні щодо своєї серединної площини.
Вирази деформацій (12.125) – (12.127) у цьому випадку залишаються
справедливими. Підставивши ці вирази в рівняння (12.192), одержимо
(12.200)
Інтегруючи напруження по товщині пластини, перейдемо до внутрішніх
силових факторів:
(12.203)
де
(12.204)
Рівняння рівноваги елемента ізотропної пластини (12.134) – (12.136)
справедливі також і для ортотропної пластини. Вносячи в них вирази
моментів (12.201) – (12.203) і виконавши нескладні перетворення,
прийдемо до диференційного рівняння пружної поверхні
(12.205)
де
. На підставі рівнянь рівноваги (12.135), (12.136) з урахуванням
залежностей (12.201) – (12.203) знайдемо.
при заданих граничних умовах може бути виконано або точними методами,
наприклад у подвійних рядах, або наближеними методами.
Нехай, наприклад, вільно обперта прямокутна ортотропна пластина
навантажена рівномірним тиском. Укажемо порядок рішення задачі в
подвійних рядах.
Розкладемо навантаження в подвійний тригонометричний ряд
і підставимо цей ряд у рівняння (12.205):
Рішення отриманого рівняння шукаємо також у вигляді ряду
.
Дорівнявши коефіцієнти при однакових функціях у лівій і правій частинах
рівняння, знайдемо коефіцієнт довільного члена ряду
;
, можна по формулах (12.200) обчислити напруження.
Диференційне рівняння (12.205) повністю можна застосовувати також і для
конструктивно ортотропних пластин (рис. 12.46).
При цьому необхідно, щоб конструктивні елементи, що викликають
ортотропність, були розташовані досить часто, для того щоб
стрибкоподібну зміну пружних властивостей пластини можна було б не
враховувати.
Приведемо значення коефіцієнтів жорсткості для деяких видів ортотропних
пластин.
, як показано на рис. 12.46, а, коефіцієнти жорсткості мають наступні
значення:
Для пластини, посиленої ребрами у двох напрямках (рис. 12.46, б):
Рис. 12.46. Конструктивно ортотропні пластини
При однобічному розташуванні ребер у напрямку осі (рис. 12.46, в)
— крутильна жорсткість одного ребра.
(рис. 12.46, г).
Для рештовки (рис. 12.46, д)
O
?
o
o
z’??UeTHae^
`
f
h
?
?
ae
ae
o
jN
`„gd-NjWkd
відповідно.
Коефіцієнти жорсткості залізобетонних плит рекомендується обчислювати по
формулах:
— пружні постійні бетону;
— товщина плити;
, віднесені до одиниці довжини (передбачається, що плита армована у
двох напрямках).
Для плити, зображеної на мал. 12.46, е:
;
.
Для пластин, виготовлених з фанери, коефіцієнти жорсткості обчислюють на
підставі даних табл. 12.3.
Відзначимо, що для визначення напружень в однорідних ортотропних
пластинах постійної товщини можна користуватися звичайними формулами
(12.144) і (12.145). Для пластин, конструктивно ортотропних або
армованих, зазначені формули не придатні.
Таблиця 12.3
Фанера кленова п’ятислойна1…………….. 131 42 5,1 11,1
Фанера березова трьох- і пятислойная1………….. 140 11,7 5,4 12,0
1Вісь х паралельна волокнам у зовнішніх шарах
Напруження в пластинах, представлених на рис. 12.46, а, б, можна
обчислити по наступних формулах:
напруження в самій пластині
— донизу).
Для пластин з однобічним розташуванням ребер (рис. 12.46, б) напруження
в точках, розташованих на верхній площині:
Напруження в точках, розташованих на нижніх крайках ребер:
,
— відстані від центра ваги таврового перетину до верхніх і нижніх
точок.
Напруження в гофрованому матеріалі (рис. 12.46, г):
.
Нарешті, напруження в залізобетонних плитах (рис. 12.46, е)
;
;
.
Наведені формули наближені, тому що вони засновані на спрощених
розрахункових схемах. Застосування уточнених теорій розрахунку
ортотропних пластин у більшості випадків недоцільно внаслідок
наближеності вихідних допущень і гіпотез.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
