Основне рівняння (рівняння Матьє)
У ряді випадків параметри механічної системи – її жорсткість або маса –
не залишаються незмінними, а є деякими заданими функціями часу, частіше
періодичними. Якщо порушити стан рівноваги такої системи, то будуть
відбуватися своєрідні коливання: з одного боку, їх не можна назвати
вільними, тому що система зазнає визначений зовнішній вплив у вигляді
зміни жорсткості, а з іншого боку, вони не є змушеними, тому що
зовнішній вплив не виявляється у вигляді заданої змушуючої сили. Ці
коливання називаються параметричними й у залежності від властивостей
системи і характеру зміни її параметрів можуть мати обмежені або
зростаючі амплітуди, причому у другому випадку можливе настання
параметричного резонансу.
.
Мал. 56
Складемо рівняння вільних коливань вантажу, вважаючи, що вони
відбуваються в площині креслення. Якщо в момент часу t переміщення
вантажу складає x, то відновлююча сила пружності стрижня дорівнює -cx, а
рівняння руху вантажу має вид
де c – коефіцієнт жорсткості системи.
. При цьому передбачається, що стрижень має постійний поперечний перетин
з осьовим моментом інерції І. Таким чином, диференціальне рівняння руху
буде
(148)
біля її середнього положення з власною частотою
Тепер припустимо, що втулка 3 ковзає уздовж стрижня 2 по заданому закону
4P”
AE
E
E
??????
. У цьому випадку коефіцієнт жорсткості виявляється функцією часу:
(149)
і диференціальне рівняння (148) стає рівнянням із перемінними
коефіцієнтами:
(150)
що характерно для системи з параметричним порушенням коливань.
Існує багато інших механічних систем, у якіх можливі параметричні
коливання. Ряд прикладів переконує, що в більшості практично важливих
випадків диференціальне рівняння параметричних коливань можна привести
до стандартної форми
(151)
де a і q – деякі постійні.
, тоді замість (149) приблизно утворюється:
(152)
і диференціальне рівняння (150) приймає вид
(153)
:
тоді
і диференціальне рівняння (153) набуває стандартної форми (151), причому
(154)
Основне рівняння параметричних коливань (151) називається рівнянням
Матьє.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
